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142857 (nombre)

Le nombre 142857 possède de nombreuses propriétés mathématiques remarquables en base 10. La plupart découlent du fait que 142857 est la période du développement décimal de la fraction 1/7.

Permutations circulaires

Les multiples successifs de 142 857 en forment les permutations circulaires :

1 x 142 857 = 142 857
2 x 142 857 = 285 714
3 x 142 857 = 428 571
4 x 142 857 = 571 428
5 x 142 857 = 714 285
6 x 142 857 = 857 142

Cette propriété est vérifiée par un nombre donné si, et seulement si,

• ce nombre est la période du développement décimal d'une fraction du type ;
• cette période est de longueur n - 1.

Si la période est comprise entre 2 et n-2, seuls certains multiples du nombre seront une de ses permutations circulaires.

Les nombres de moins de cinquante chiffres possédant une telle propriété sont ainsi :

• 0 588 235 294 117 647 (16 chiffres, de 1/17) ;
• 052 631 578 947 368 421 (18 chiffres, de 1/19) ;
• 0 434 782 608 695 652 173 913 (22 chiffres, de 1/23) ;
• 0 344 827 586 206 896 551 724 137 931 (28 chiffres, de 1/29) ;
• 0 212 765 957 446 808 510 638 297 872 340 425 531 914 893 617 (46 chiffres, de 1/47).

On notera également les permutations circulaires suivantes :

142 857 / 2 = 71 428,5
142 857 / 5 = 28 571,4

Lien avec 9, 99, 999 et 999 999

De nombreuses identités remarquables lient 142 857 aux nombres de la forme :

7 x 142 857 = 999 999
142 + 857 = 999
14 + 28 + 57 = 99
1 + 4 + 2 + 8 + 5 + 7 = 9 x 3

Elles sont liées au fait que 142857 est la période du développement décimal de la fraction 1/7 et se généralisent aux autres périodes de fractions du type par exemple :

• 333 (de 1/3)
• 09 (de 1/11)
• 076 923 (de 1/13)

On peut aussi remarquer que 2 est un élément d'ordre 6 modulo 9:

et l'on voit réapparaitre les chiffres 1, 4, 2, 8, 5 et 7.

À partir de 7 x 142 857 = 999 999, on peut déduire :

Ce qui permet de calculer mentalement rapidement 142857 fois n'importe quel entier.

Nombre de Kaprekar

142 857 est un nombre de Kaprekar :

1428572 = 020408 122449 
142857 = 020408 + 122449

On notera également

1428574 = 000416 491461 893377 757601
142857 x 15 = 000416 + 491461 + 893377 + 757601

et

1428578 = 173465 137830 082936 774412 507898 191113 275201
142857 x 15 = 173465 + 137830 + 082936 + 774412 + 507898 + 191113 + 275201

Cette décomposition d'un multiple comme somme de sous-nombres d'une puissance est partagée par les périodes d'un développement décimal de fraction, par exemple :

• 333 (de 1/3)
• 09 (de 1/11)
• 047619 (de 1/19)

Nombre de Harshad

142 857 est un nombre de Harshad :

142857 = 5291 x (1+4+2+8+5+7)

Autres propriétés

Décomposition en facteurs premiers :

142 857 = 33 x 11 x 13 x 37