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Action par conjugaison

En mathématiques, plus particulièrement en algèbre abstraite, une action par conjugaison est un cas particulier des actions de groupe. Une action de groupe d'un groupe G sur un ensemble X est une application de G×X $\rightarrow$ X satisfaisant certains axiomes. Dans le cas d'une action par conjugaison, l'ensemble X est le groupe G lui-même.

Définition

Soit G un groupe. Pour $g \in G$ , l'application :

$f_g \left\{ \begin{matrix} G \times G \rightarrow G \\ x \mapsto g.x.g^{-1} \end{matrix}\right.$

est appelée action de G sur G par conjugaison en g.

L'ensemble de ces applications constituent une action de groupe, car pour g,g' et x appartenant à G, on a :

f₁(x) = 1.x.1^-1 = x : f₁ est l'application identité
f_g(f_h(x)) = g.h.x.h^-1.g^-1 = f_gh(x)

Pour tout g appartenant à G, la classe de g par l'action par conjugaison est appelée classe de conjugaison de g et est notée C_j(g). Tout élément de C_j(g) est appelé conjugué de g.

Propriétés

L'action par conjugaison vérifie pour tout z appartenant à Z(G), le centre de G :

f_z(x) = z.x.z^-1 = z.z^-1x = x

On peut donc restreindre l'action par conjugaison au groupe quotient G/Z(G). Alors f_g = f_g' si et seulement si g = g' mod[Z(G)].

Voir aussi

Catégories: Théorie des groupes

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