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Addition des entiers naturels

L'addition des entiers naturels est l'opération arithmétique la plus élémentaire. Dans cet article, nous la définissons à partir des axiomes de Peano (voir entier naturel) et démontrons quelques propriétés élémentaires. L'ensemble des entiers naturels sera noté ; zéro est considéré comme un entier naturel.

Définition

Définition intuitive

L'opération d'addition sur des entiers permet de donner le nombre d'éléments présents dans un ensemble composé de deux sous-ensembles dont le nombre d'éléments de chacun est connu.

Exemple : deux bonbons réunis avec cinq bonbons font sept bonbons. On note: 2 + 5 = 7

Pour les additions de petits nombres une table d'addition peut être utilisée.

Pour les nombres plus grands, l'utilisation d'un algorithme est nécessaire. (niveau CP-CE1). Voir Faire une addition à la main

Définition mathématique

L'opération d'addition, généralement écrite avec l'opérateur infixe +, est une fonction de

a + b = c

a et b sont appelés les opérandes, tandis que c est appelé la somme.

Par convention, a⁺ désigne le successeur de a défini par les postulats de Peano.

Les axiomes

• a + 0 = a
• a + (b⁺) = (a + b)⁺

Le premier est référencé par AP1, et le second par AP2.

Propriétés

• Unicité : (a + b) est unique. i.e. si (a.b) satisfait aussi à [AP1] et [AP2] alors (a.b) = (a + b).
• La loi d'associativité : (a + b) + c = a + (b + c)
• La loi de commutativité : a + b = b + a

Preuve d'unicité

Nous allons démontrer l'unicité par récurrence sur b.

Initialisation: pour tout a, (a.0) = a [d'après AP1] = (a + 0) [d'après AP1]

Hypothèse de récurrence : pour tout a, (a.b) = (a + b)

(a.b⁺)

= (a.b)⁺ [d'après AP2]

= (a + b)⁺ [par hypothèse]

= (a + b⁺) [d'après AP2]

Preuve de l'associativité

Nous allons prouver l'associativité par récurrence sur c.

Initialisation: pour tous a et b, (a + b) + 0 = a + b [d'après AP1] = a + (b + 0) [d'après AP1]

Hypothèse de récurrence: pour tous a et b, (a + b) + c = a + (b + c)

(a + b) + c⁺

= ((a + b) + c)⁺ [d'après AP2]

= (a + (b + c))⁺ [par hypothèse]

= a + (b + c)⁺ [d'après AP2]

= a + (b + c⁺) [d'après AP2]

Preuve de la commutativité

Nous allons prouver la commutativité par récurrence sur b.

Initialisation : pour tout a, a + 0 = a = 0 + a et a + 1 = a⁺ = 1 + a
La preuve de l'initialisation se fait par récurrence sur a.

Hypothèse de récurrence : pour tout a, a + b = b + a

a + b⁺

= a + (1 + b) [en utilisant l'initialisation]

= (a + 1) + b [d'après l'associativité]

= b + (a + 1) [par hypothèse]

= b + (1 + a) [en utilisant l'initialisation]

= (b + 1) + a [d'après l'associativité]

= b⁺ + a [en utilisant l'initialisation]