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Algèbre

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L'Algèbre est une branche des mathématiques qui peut être grobalement caractérisée comme une généralisation et une extension de l'arithmétique ; elle fait référence également à une catégorie particulière de structure d'algèbre abstraite, l'algèbre sur un corps.

C'est une méthode qui consiste en des techniques de résolution d'équations et d'inégalités dans lesquelles les opérations impliquées sont élémentaires: addition, soustraction, multiplication, division.

Non-numériques, ces techniques générales s'appliquent aussi bien à des nombres qu'à des représentations plus abstraites de ceux-ci. L'algèbre désigne aussi bien le « calcul avec des lettres » (identités remarquables) que la théorie et la résolution des équations.

Elle doit son nom au titre d'un ouvrage du mathématicien Al-Khawarizmi où il reprend dans la première partie du IXe siècle les travaux de Diophante d'Alexandrie (IVe siècle) qui, le premier avait imaginé de représenter une inconnue par un symbole nommé arithme. 'Algèbre (de l'arabe al-jabr, voulant dire « la réunion », « la reconstruction » ou « la connexion »).

L'algèbre peut être globalement divisée en catégorie suivantes :

Sommaire

Formes d'équation algébriques

Il existe beaucoup de formes d'équations algébriques. Certaines d'entre-elles sont listées ci-dessous :

Les équations polynômiales

Les équations linéaires

Les équations linéaires sont écrite sous la forme :

y=mx+b\,\!.

Lorsqu'une équation linéaire est représentée graphiquement, elle produit une droite.

Les équations quadratiques

Les équations quadratiques sont écrite sous la forme :

y=ax^2+bx+c\,\!

Elles sont appelées trinômes. Lorsqu'une équation quadratique est représentée graphiquement, elle produit une courbe appelée une parabole. Elles ont 0, 1, ou deux intersections avec l'axe des abscisses suivant les valeurs des coefficients.

Les équations cubiques

Les équations cubiques sont écrites sous la forme

y = ax^3 + bx^2 + cx + d\,\!.

Sous cette forme, elles ont une ou trois intersections avec l'axe des abscisses suivant les valeurs des coefficients. La courbe démarre du bas, à gauche, se stabilise, s'incurve en descendant, se stabilise, s'incurve en remontant en haut à droite.

Les équations exponentielles et logarithmiques

Les équations exponentielles sont de la forme :

y = m^x + b\,\!.

Les équations logarithmiques sont de la forme : y = mln x + b\,\!ln représente le logarithme naturel.

Equations trigonométriques

Les équations trigonométriques sont écrites sous la forme :

y = m\sin x + b\,\!.
y = m\cos x + b\,\!.
y = m\tan x + b\,\!.

Factorisation de trinômes

Factorisation simple

Les trinômes sont des expressions algébriques constituées de trois termes différents, tels que :

x^2 + 3x + 2\,\!

Ils peuvent être factorisés de la manière suivante. Nous factorisons l'expression en utilisant deux paires de parenthèses, chacune d'elles consistant en deux termes, où se trouvent les premiers, ceux du dehors, ceux du dedans, et les derniers nombres des deux paires de parenthèses multipliées ensemble égalent le trinôme. C'est à dire,

x^2 + 5x + 6\,\!

est équivalent à

(x + 3)(x + 2)

Les premiers (x fois x) + en dehors (x fois 2) + en dedans (3 fois x) + les derniers (3 fois 2) = le trinôme (x^2 + 5x + 6).

Les derniers nombres de chaque paire de parenthèses ont une autre relation. Lorsqu'ils sont multipliés ensemble, il sont toujous égaux au dernier nombre (3 fois 2 égale 6), et lorsqu'ils sont ajoutés, ils sont égaux au coefficient de la variable (3 plus 2 égale 5). Ceci parcequ'ils sont tous les deux multipliés par la variable puis ajoutés.

Deux variables

Quelquefois, nous obtenons des expressions telles que :

3x^2 + 8xy + 4y^2\,\! .

Dans cette situation, la forme factorisée ressemblera à : (3x + 2y)(x + 2y). 3x fois x égale 3x^2, 3x fois 2y égale 6xy, 2y fois x égale 2xy, et 2y fois 2y égale 4y^2. Cette fois, les coefficients de x ont été multipliés avec le coefficient de x^2, et le même avec x.

La méthode symbolique

La méthode symbolique est la manière de calculer et d'enlever une variable quand elle se trouve de part et d'autre de l'équation. La règle d'or est d'effectuer ces opérations des deux cotés de l'équation, en utilisant, soit l'opposé, soit l'inverse. C'est à dire :

3x + 25 = 5x + 5
3x - 3x + 25 = 5x - 3x + 5.
25 = 2x + 5
25 - 5 = 2x + 5 - 5
20 = 2x.
(1/2)(20) = (1/2)(2x)
10 = x.

Le mot algèbre est aussi utilisé pour diverses structures algébriques :

Voir aussi


Liens externes

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