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Algèbre de Clifford

Les algèbres de Clifford sont des algèbres associatives importantes en mathématiques (notamment au sein des théories des formes quadratiques et des groupes orthogonaux) et en physique. Elles sont nommées ainsi en l'honneur de William Kingdon Clifford.

Définition formelle

Soit un espace vectoriel sur un corps , et $q : V \to k$ une forme quadratique sur . Une algèbre de Clifford est une algèbre associative unitaire sur munie d'une application linéaire $i : V \to C(q)$ définie par la propriété universelle suivante :

Pour toute algèbre associative sur munie d'une application linéaire $j : V \to A$ vérifiant pour chaque vecteur de (où 1 désigne le neutre multiplicatif de ), il existe un unique homomorphisme d'algèbres $f : C(q) \to A$ faisant commuter le diagramme suivant :

$\begin{matrix} V & \to & C(q) \\ \downarrow & \swarrow &\\ V && \end{matrix}$ ,

c'est-à-dire que .

L'algèbre de Clifford existe et peut être construire comme l'anneau quotient de l'algèbre tensorielle par l'idéal engendré par les éléments $v \otimes v - q(v) 1$ .

Cette construction implique que est une injection, et que l'on peut donc voir comme un sous-espace vectoriel de .

Soit la forme bilinéaire associée à . Une conséquence de la définition est que pour tous vecteurs de , l'identité est vraie dans . Si le corps n'est pas de caractéristique 2, cette propriété peut être utilisée en tant que définition alternative.

L'algèbre de Clifford est filtrée par les sous-espaces $k \subset k + V \subset k+V+V^2 \subset \cdots$ constitués d'éléments pouvant être écrits comme monômes en 0, 1, 2 ... vecteurs de . L'algèbre graduée associée est canoniquement isomorphe à l'algèbre extérieure $\bigwedge V$ de l'espace vectoriel. Cela montre en particulier que $\dim C(q) = 2^{\dim V}$ .

Une manière plus simple est de voir qu'en choisissant une base $e_1, e_2, \ldots$ de , on peut toujours exprimer, grâce à la relation d'anticommutativité, un élément de l'algèbre de Clifford comme combinaison linéaire de monômes du type :

$e_{i_1} e_{i_2} \cdots e_{i_n}, \qquad i_1 < i_2 < \cdots < i_n$ ,

ce qui donne un isomorphisme explicite avec l'algèbre extérieure. Notons que ce n'est qu'un isomorphisme d'espaces vectoriels.

Si est de dimension finie paire, que le corps est algébriquement clos et que la forme quadratique est non dégénérée, l'algèbre de Clifford est centrale simple. Ainsi, par le théorème d'Artin Wedderburn, elle est (non canoniquement) isomorphe à une lgèbre de matricesIl s'ensuit que dans ce cas, possède une représentation irréductible de dimension $2^{\dim V/2}$ , qui est unique à un isomorphisme (non unique) près. C'est la (sulfureusement) célèbre représentation spinorielle, dont les vecteurs sont appelés spineurs.

Si $\dim V$ est impair, l'article reste à remplir...

Dans le cas où k est le corps des réels, l'algèbre de Clifford d'une forme quadratique de signature (p,q) est habituellement notée C(p,q). Ces algèbres de Clifford réelles ont été classées ici.

Les algèbres de Clifford sont importantes en physique. Les physiciens considèrent habituellement l'algèbre de Clifford comme engendrée par des matrices $\gamma_1, \ldots, \gamma_n$ qui vérifient l'identité , où est la matrice d'une forme quadratique de type p,q par rapport à une base orthonormale $e_1, \ldots, e_n$ . Les matrices ne so,t que les matrices de la multiplication par le vecteur dans la représentation spinorielle, par rapport à une base arbitraire de spineurs.

Catégories: Théorie des anneaux

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