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On nomme algèbre linéaire la branche des mathématiques qui s'occupe de l'étude des vecteurs (ensembles ordonnés de scalaires), des espaces vectoriels (ou espaces linéaires), des transformations linéaires et des systèmes d'équations linéaires (théorie des matrices).
Les espaces vectoriels constituent un outil standard des mathématiques actuelles. L'algèbre linéaire est utilisée en algèbre abstraite ou en analyse de fonction. L'algèbre linéaire est aussi utilisable en géométrie analytique ou projective, ainsi qu'à la recherche opérationnelle, aux sciences naturelles ou aux sciences sociales.
En première approche, l'algèbre linéaire a constitué initialement une sorte de sténographie pour noter de façon simple des systèmes d'équations complexes (son adoption dans cette fonction fut bien plus rapide en France qu'aux États-Unis). Puis, très rapidement, on s'est rendu compte que sa formalisation se prêtait très bien au calcul automatique. Un langage informatique sorti dès 1969 adoptait des notations généralisées de l'algèbre linéaire : le langage APL, qui en généralise le principe de façon impressionnante (on y trouve non seulement des vecteurs nuls, mais également des vecteurs vides, qui ne sont pas la même chose).
| Sommaire |
L'histoire de l'algèbre linéaire moderne commence dans les années 1843 et 1844. En 1843, William Rowan Hamilton (inventeur du terme vector) découvre les quaternions. En 1844, Hermann Grassmann publie un livre Die lineare Ausdehnungsleshre.
L'algèbre linéaire commence par l'étude de vecteurs dans les espaces cartésiens de dimension 2 et 3. Un vecteur, ici, est un segment de droite caractérisé à la fois par sa longueur (ou norme), sa direction et son sens. Les vecteurs peuvent alors être utilisés pour représenter certaines entités physiques comme des forces, additionnés ou multipliés par des scalaires, formant ainsi le premier exemple concret d' espace vectoriel.
L'algèbre linéaire moderne a été étendue pour considérer les espaces de dimension arbitraire ou infinie. Un espace vectoriel de dimension n est appelé un n-espace. La plupart des résultats obtenus dans les 2-espaces et 3-espaces peuvent être étendus aux espaces de dimensions supérieures. Bien que beaucoup de personnes ne peuvent appréhender correctement un vecteur dans un n-espace, ils sont utiles pour représenter des données. Les vecteurs étant des listes ordonnées à n composantes, la plupart des personnes peuvent manipuler des données efficacement dans cet environnement. Par exemple en économie, on peut créer et utiliser des vecteurs à huit dimensions pour représenter le produit national brut de huit pays.
D'autres théorèmes concernent les conditions d'inversion de matrices de divers types :
Un théorème intéressant à l'époque des mémoires d'ordinateurs de petite taille était qu'on pouvait travailler séparément sur des sous-ensembles (« blocs ») d'une matrice en les combinant ensuite par les mêmes règles qu'on utilise pour combiner des scalaires dans les matrices. Avec les mémoires actuelles de plusieurs Go, cette question a perdu un peu de son intérêt pratique, mais reste très prisée en théorie des nombres, pour la décomposition en produit de facteurs premiers avec le crible général de corps de nombres (GNFS) (méthode Lanczos par blocs)
