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Au XVIIe siècle, l’écrivain Fontenelle disait : « Les abeilles, par inspiration et de par la volonté divine, sont capables d’appliquer aveuglément les mathématiques les plus raffinées. »
En effet, les alvéoles des abeilles, construites en cire par les abeilles maçonnes (ou ouvrières) afin de stocker le miel et le pollen ou les œufs et les larves, sont des prismes juxtaposés d’axes horizontaux qui constituent le gâteau de cire. Ce gâteau de cire est ainsi formé de deux séries d’alvéoles hexagonales se rejoignant en leur base.
Mais ce qui est vraiment surprenant, c’est la forme plus que singulière de ces alvéoles. Contrairement à ce qu’on pourrait supposer, l’autre extrémité de ces cellules n’est pas un hexagone régulier, mais un emboîtement de trois losanges identiques, appelés rhombes. Les prismes ne se raccordent donc pas par leur surface hexagonale, mais justement par ces losanges, chaque cellule étant adossée, décalée, à trois autres au moyen de ces surfaces.
La forme hexagonale des alvéoles fut repérée par Aristote dès le IVe
siècle avant Jésus-Christ (Histoire des Animaux) puis traitée géométriquement huit siècles plus tard par Pappus, mathématicien grec ; mais ce n’est qu’au XVIIIe siècle que cette forme rhomboïdale fut
remarquée. Ainsi, Maraldi, astronome à l’Observatoire de Paris, détermina expérimentalement en 1712 la
valeur des angles de ces rhombes, égale à 109°28’ et 70°32’.
Intrigué par la complexité de ces formes, le physicien Réaumur soupçonne les abeilles de construire leur gâteau de cire dans un souci d’économie. Afin de vérifier son hypothèse, il demanda au géomètre allemand Koenig de déterminer quelle était la cellule hexagonale à fond composé de trois rhombes égaux qui pouvait être construite avec le moins de matière possible. Par calcul différentiel, Koenig trouva en 1739 que les angles de ces losanges devaient être égaux à 109°26’ et 70°34’. La correspondance de ce résultat avec celui de Maraldi est déjà étonnante, mais elle fut améliorée en 1734 par le mathématicien écossais Maclaurin qui démontra que Koenig avait commis une erreur dans ses calculs, et que les angles des losanges correspondant à l’utilisation d’un minimum de matière étaient justement ceux indiqués par Maraldi : 109°28’ et 70°32’.
Le premier souci des abeilles est de paver le plan pour pouvoir ensuite paver l’espace. On connaît trois polygones réguliers permettant de paver le plan : le triangle équilatéral, le carré et l’hexagone. Or, on peut démontrer que, parmi ces trois polygones réguliers, pour une même surface, l’hexagone est le polygone régulier offrant le plus petit périmètre.
Cependant, on pourrait se demander si l’hexagone est bien le pavage du plan le plus économique. En effet, on pourrait envisager de combiner des polygones de toutes sortes, qui ne sont pas forcément réguliers ni même dont les côtés forment une ligne droite. On ne savait pas grand-chose sur ce sujet jusqu’en 1943, date à laquelle le mathématicien hongrois Fejes Toth démontra que la structure hexagonale régulière restait le polygone le plus économique pour paver le plan parmi tous les polygones à côtés droits.
Mais que se passe-t-il lorsque les côtés sont courbes ? Fejes Toth pensait que la structure hexagonale régulière resterait la plus efficace, mais il ne parvint pas à le démontrer.
Ce n’est qu’en 1999 que Thomas Hales présente sa preuve en 19 pages (Honeycomb Conjecture).
Le fond formé de trois rhombes permet un adossement simple des alvéoles. Il est même facile de prouver qu'il est plus économique qu'un fond plat hexagonal mais reste-t-il le moyen le plus économique ?
En 1964, Fejes Toth a démontré que si le fond était formé de deux petits hexagones ainsi que de deux losanges, à la place de trois rhombes, la quantité de cire serait, pour un même volume, inférieure de 0,35% à ce qu’elle est avec les losanges.
Pour déterminer les angles des rhombes minimisant la surface, on peut déjà remarquer que le remplacement d'un fond hexagonal ABCDEF par un fond formé de 3 rhombes de diagonales AC, CE, EF, ne modifie pas le volume de l'alvéole. En effet, le volume ôté est exactement égal au volume ajouté.
Il s'agit maintenant de comparer les surfaces.
Dans un fond rhomboidal, la surface est celle de trois rhombes de côtés c (en prenant évidemment c > a) et de diagonale d.
Elle est donc de 
.
Cette surface remplace exactement la surface du fond hexagonal et des 6 triangles. Le fond hexagonal a pour aire 
.
La diagonale d du rhombe se calcule aisément 
Chaque triangle a pour aire 
.
La différence des aires est donc
.On peut remarquer que, pour c = a, l'expression précédente est nulle. Il s'agit d'étudier les variations de cette fonction.
On peut, pour des raisons d'homogénéité, supposer a = 1 et diviser la quantité précédente par 3. Il s'agit donc d'étudier les variations de la fonction f définie par
Un calcul de la dérivée, une réduction au même dénominateur, puis une multiplication par la quantité conjuguée amène à dire que a même signe que
Quantité négative sur ![\left[1; \frac{3}{2\sqrt{2}}\right]](/Images/7/7d9ae4af6ee513048a18af9bcc611ee5.png)
et positive au-delà.
La fonction f atteint donc un minimum pour 
.
Dans le rhombe de côté et
de diagonale 
, si on appelle x l'angle
interceptant d, il vient :
soit un angle x de 109°28', comme l'a trouvé Mac Laurin.
