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Analyse dimensionnelle

L'analyse dimensionnelle est le domaine (restreint) de la physique qui concerne les unités des grandeurs. Notamment, le fait que les unités soient arbitraires fait que toute équation valable de la physique est homogène : quelque chose qui se mesure en mètres par seconde ne peut pas être égal à quelque chose qui se mesure en kilogrammes par mètre. C'est un moyen de vérifier ses calculs très prisé.

Étalons, unités et équation aux dimensions

L'équation aux dimensions est la formule qui permet de déterminer l'unité dans laquelle doit être exprimé le résultat d'une formule. C'est une équation de grandeurs, c'est-à-dire dans laquelle on représente les phénomènes mesurés par un symbole ; par exemple, une longueur est représentée par la lettre « L ».

Une grandeur est un paramètre mesurable qui sert à définir un état, un objet. Par exemple, la longueur, la température, l'énergie, la vitesse, la pression, une force (par exemple le poids), l'inertie (masse), la quantité de matière (nombre de moles)... sont des grandeurs.

La mesure d'une grandeur fait appel à la métrologie. Il faut définir un phénomène de référence, ou étalon, qui va permettre de dire : « le phénomène actuel fait x fois le phénomène de référence ». Pour simplifier l'énoncé, on définit une unité et l'on dit : « le phénomène actuel fait x unités ». Par exemple, si une barre fait trois fois l'étalon-mètre, on dit que « la barre mesure 3 mètres », le mètre étant l'unité de longueur.

Il faudrait ainsi trouver un phénomène de référence par phénomène observé. Heureusement, on peut construire des étalons à partir d'étalons déjà existants : par exemple, l'étalon-vitesse peut se construire à partir de l'étalon-longueur et de l'étalon-temps :

la vitesse de référence est la vitesse d'un objet qui parcourt un étalon-longueur durant un étalon-temps, soit un mètre par seconde.

On ne définit ainsi pas d'unité spécifique, mais on compose l'unité à partir d'unités existantes.

On a pu ainsi se ramener à seulement sept étalons :

• longueur L (mètre — m),
• masse M (kilogramme — kg),
• temps T (seconde — s),
• courant électrique (ampère — A),
• température (kelvin — K),
• quantité de matière N (mole — mol),
• intensité lumineuse I_v(candela — cd).

Notons que l'on aurait pu choisir sept autres grandeurs de référence, par exemple définir la vitesse comme grandeur de base et définir l'étalon-longueur en fonction de l'étalon-vitesse et de l'étalon-temps (c'est ce qui est d'ailleurs fait implicitement, l'étalon-vitesse étant la vitesse de la lumière dans le vide) ; le choix de ces sept grandeurs est une construction historique, les grandeurs ont été choisies depuis le XVIII^e siècle en fonction des besoins et des étalons que l'on pouvait fabriquer de manière simple et précise.

Ainsi, la dimension d'une grandeur est la manière dont se compose le phénomène-étalon à partir des sept étalons de base. Par exemple, on dit que « la dimension d'une vitesse est une longueur divisée par une durée » (on dit aussi « la vitesse est homogène à une longueur divisée par une durée). On note ceci de manière abrégée par une équation aux dimensions :

[V] = [L]/[T]

L'unité utilisée représente cette équation aux dimension, par exemple pour la vitesse, l'unité est le m·s^-1 (ou m/s).

La composition peut devenir plus complexe. Ainsi, la force a la dimension d'une masse multipliée par une longueur et divisée par une durée au carré

[F] = [M]×[L]/[T]²

et l'unité de force, le newton (N) est donc homogène à des kg·m·s^-2 (kilogramme mètre par seconde carrée). Cela signifie que l'étalon-force est un phénomène permettant de faire passer une masse de 1 kg d'une vitesse 0 à 1 m·s^-1 en 1 s.

Signification des exposants

Les exposants indiquent le degré d'influence d'un paramètre composant le phénomène sur l'intensité finale du paramètre.

Par exemple, dans le cas de l'étalon-force, considérons la forme intermédiaire de l'équation aux dimensions

[F] = [M]×[V]/[T]

si l'on double la force :

• on peut accélérer une charge double sur une même durée et atteindre la même vitesse, le [M] a donc un exposant 1 (stricte proportionnalité) ;
• on peut accélérer la même charge sur une même durée pour atteindre une vitesse double, le [V] a donc un exposant 1 ;
• on peut accélérer la même charge durant la moitié du temps pour atteindre la même vitesse, le deuxième [T] a donc un exposant -1 (1/[T]).

Résolution des problèmes

Un peu plus généralement, l'analyse dimensionnelle, grâce au théorème de Buckingham (parfois appelé théorème Pi) permet de trouver la solution de certains problèmes sans avoir à résoudre d'équation ni de problème mathématique ou physique. Deux exemples célèbres sont le calcul de la puissance de la première bombe atomique et le modèle de Kolmogorov de la turbulence homogène isotrope, qui a influencé grandement toute la mécanique des fluides. Ce type de calcul n'est valable que si un petit nombre de paramètres contrôlent la solution d'un problème (2 ou 3).

Voir aussi

• Dimension