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Analyse non standard


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Sommaire

Introduction

Bref historique

Leibniz utilisait en analyse des infiniment petits sur l'existence desquels il s'interrogeait. Il fallut attendre Abraham Robinson pour définir les infiniments petits par une ultra-puissance de . Il introduisit dans les années 60 une nouvelle théorie appelée analyse non standard. Peu après, Nelson fournit une présentation de l'analyse non standard plus abordable, basée sur l'axiomatique Zermelo-Fraenkel à laquelle est ajouté un nouveau prédicat : le prédicat standard. Le comportement de ce nouveau prédicat est basé sur 3 axiomes nouveaux :

  1. l'Idéalité
  2. Standard
  3. le Transfert

Ces 3 axiomes sont plus connus sous le nom IST.

Le sens du qualificatif standard donné par ces axiomes est celui d'objet appartenant à l'horizon perceptible, non standard comme étant au-delà de l'horizon perceptible. Un ensemble peut donc être standard ou non standard (on dit aussi charmé), il ne peut être les deux.

Intérêt de l'analyse non standard

Il y a deux types d'applications :

Les axiomes

Axiome d'idéalisation

Soit R(x,y) une relation classique (une relation classique est une relation ne faisant pas intervenir le nouveau prédicat "standard" dans son énoncé. Il s'agit donc d'une relation usuelle de nos mathématiques de tous les jours). L'axiome d'idéalisation affirme que les deux propositions suivantes sont équivalentes:

  1. Pour chaque partie standard finie F, il existe un élément x noté tel que R(x,y) pour tous les y appartenant à F
  2. Il existe un élément x de E tel que R(x,y) pour tout y standard

L'axiome signifie que, pour trouver un élément x qui vérifie une propriété relative à tous les éléments y standard, il faut et il suffit de trouver un tel x relatif aux éléments y de n'importe quel ensemble standard fini.

Exemple 1 : Il existe un entier supérieur à tous les entiers standard

Nous voulons montrer que : il existe x entier, tel que, pour tout y standard entier, x > y. Soit donc R(x,y) défini par : x est entier et y est entier et x > y. La proposition 1 de l'axiome d'idéalisation est bien vérifié : si F est fini (standard ou non d'ailleurs), il existe bien un entier x supérieur aux entiers y éléments de F. Par conséquent, l'axiome d'idéalisation énonce que la proposition 2 est aussi vérifiée et celle-ci correspond à notre énoncé.

Il existe donc un entier x supérieur à tous les nombres entiers standard. Cet entier sera donc non standard, sinon, il serait supérieur à lui-même. Nous venons donc de montrer qu'il existe au moins un entier non standard. Les entiers supérieurs à x sont a fortiori non standard, sinon, x leur serait supérieur. Pour cette raison, dans l'ensemble \mathbb N des entiers, les entiers non standard sont également qualifiés d'inaccessibles, ou d'illimités, ou d'infiniment grands. Le terme "illimité" est peut-être mal choisi. Il pourrait faire croire que de tels entiers sont infinis. Mais tous les entiers sont finis ! Nous préférons donc le terme d'inaccessible ou d'infiniment grand.

Exemple 2 : Tout ensemble infini possède un élément non standard

Considérons la relation x différent de y dans un ensemble E infini. Pour chaque partie finie standard F, nous trouvons un élément x noté appartenant à E tel que x soit différent de y pour tout y appartenant à F, puisque E est infini.

L'axiome d'idéalisation fournit alors l'existence d'un élément charmé (ou non-standard) x appartenant à E et différent de tous les éléments standard y appartenant à E.

On en déduit la propriété suivante :

Dans tout ensemble infini, il y a au moins un élément charmé.

et par contraposition :

Si tous les éléments d'un ensemble sont standard, cet ensemble E est fini.(1)

Nombre d'éléments charmés dans un ensemble infini

Soit E un ensemble infini.

E - {x} est aussi un ensemble infini et je puis à nouveau appliquer le raisonnement ci-dessus. Je peux aussi renouveler cette opération un nombre infini de fois.

Si l'on considère que cette opération épuise les éléments de l'ensemble, nous arrivons à la conclusion (1) que l'ensemble est fini, ce qui est une contradiction. Si on considère que l'on n'épuise pas les éléments de l'ensemble, nous arrivons à la conclusion que :

Tout ensemble infini possède une infinité d'éléments non standard.

Exemple 3 : Théorème de Nelson

Ce théorème énonce que, si E est un ensemble, il existe une partie finie X de E contenant tous les éléments standard de E. Les éléments standard d'un ensemble sont donc en nombre fini. On définit pour cela la relation R(X,y) suivante : X est inclus dans E, X est fini et si y est élément de E, alors y est élément de X. La proposition 1 de l'axiome d'idéalisation est bien vérifée pour toute partie finie F (standard ou non d'ailleurs) en prenant X l'intersection de F et E. Par conséquent, la proposition 2 de l'axiome d'idéalisation permet de valider le théorème de Nelson.

On notera que la partie X donnée par l'axiome est une partie interne ou classique. Elle ne se limite pas nécessairement aux seuls éléments standard de E, car, a priori, l'ensemble des éléments standard, défini à partir de la relation non classique "être standard" est un ensemble externe, c'est-à-dire étrangère aux mathématiques usuelles. Ainsi, dans les entiers, un ensemble X contenant tous les entiers standard est de la forme {0, 1, 2, ..., n} avec n non standard, et cet ensemble contient aussi des entiers non standard.

Axiome de transfert

Dès que tous les paramètres d'une valeur classique F ont des valeurs standard

Pour tout x standard , F(x,,....) si et seulement si pour tout x, F(x,,...)

Autrement dit, pour vérifier qu'une formule usuelle dépendant de paramètres standard est vraie pour tout x, il suffit de la vérifier pour tout x standard. Intuitivement, nous ne pouvons accéder qu'aux éléments standard, et ceux sont eux qui nous permettront de vérifier une formule classique. Cet axiome peut aussi s'exprimer (par négation) :

Il existe x standard, F(x,,....) si et seulement si il existe x, F(x,,...)

Si une propriété classique est vraie pour un x, alors elle est vraie pour un x standard. En voici quelques conséquences. La plus importante est le fait que si un objet mathématique est défini de façon classique de manière unique à partir d'objets standard, il est nécessairement standard. C'est donc le cas de \varnothing, 0, 1, 2, \pi, e, i, 2, \mathbb N, \mathbb R^n pour n standard. De même, si E et F sont des ensembles standard, il en est de même leur intersection, leur réunion, leur produit, de l'ensemble des applications de E dans F, de l'ensemble des parties de E. Si a et b sont deux nombres standard, il en est de même de ab, a+b, ab, a/b, etc... Si n est standard, il en est de même de n+1 ou de In = {1, ..., n}. Si A est une partie standard de \mathbb R bornée, Sup A et Inf A sont standard. Si f est une fonction standard (c'est à dire définie sur des ensembles standard et de graphe standard), alors l'image d'un élément standard est standard.

Enfin, cet axiome permet de montrer que, pour voir que deux ensembles standard sont égaux, il suffit de vérifier qu'ils possèdent les mêmes éléments standard. Ainsi, la seule partie standard de \mathbb N contenant tous les entiers standard est \mathbb N lui-même. Par contre, il existe des parties non standard contenant tous les entiers standard, à savoir les parties {0, 1, 2, ..., n} avec n non standard.

Axiome de standardisation

Soit E un ensemble standard, soit P une propriété quelconque, faisant ou non intervenir le postulat "standard". Alors :

Il existe un ensemble A standard tel que pour tout x standard, x appartient à A si et seulement si x appartient à E et vérifie P(x)

Cet axiome ne présente d'intérêt que si la propriété P est non classique (elle utilise le postulat "standard"). A n'est autre qu'un ensemble standard dont les éléments standard sont les éléments standard de E vérifiant la propriété P. Il se peut que A possède d'autres éléments, mais ils seront non standard. Par ailleurs, un ensemble standard étant défini de maniére unique par ces éléments standard, il en résulte que A est unique. On l'appelle le standardisé de l'ensemble non classique (ou externe) {x élément de E | P(x)}. L'interprétation intuitive qu'on peut donner à cet axiome est le suivant : l'ensemble non classique {x élément de E | P(x)} ne nous est pas directement accessible. Nous ne pouvons concevoir que son standardisé.

Par exemple, considérons E = \mathbb N, et P(x) la propriété x est standard. L'ensemble {x élément de E | P(x)} est l'ensemble (externe) des éléments standard. Son standardisé est un ensemble standard contenant tous les éléments standard de \mathbb N. Nous avons déjà vu qu'il s'agissait de \mathbb N lui-même.

Considérons maintenant E = \mathbb N, et P(x) la propriété x est non standard. L'ensemble {x élément de E | P(x)} est l'ensemble (externe) des éléments non standard. Son standardisé est l'ensemble vide.

Continuité en analyse non standard

La continuité d'une fonction dans \mathbb R se définit plus simplement avec l'analyse non standard : est continue si pour tout infiniment petit et pour tout , est infiniment proche de .

Bibliographie

Voir aussi



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