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Analyse tensorielle

Les tenseurs sont une généralisation des scalaires, des vecteurs et des matrices. On peut faire sur les tenseurs toutes les opérations dédiées à un vecteur d'ordre n. En particulier, les tenseurs servent à apporter à un ordre supérieur les notions de divergent et de gradient.

Ex: $grad \ \vec u = \partial_i \ u_j =u_j,_i= \begin{bmatrix} \frac {\partial u}{\partial x} & \frac {\partial v}{\partial x} & \frac {\partial w}{\partial x} \\ \frac {\partial u}{\partial y} & \frac {\partial v}{\partial y} & \frac {\partial w}{\partial y} \\ \frac {\partial u}{\partial z} & \frac {\partial v}{\partial z} & \frac {\partial w}{\partial z} \end{bmatrix}$

Avec les deux notations tensorielles une question s'impose: dans quel sens devrait-on écrire le tenseur? La réponse est simple, le sens n'a aucune importance puisque les indices nous dictent les composantes sommées. Cependant pour les habitués le Jacobien s'écrit $u_i,_j \ ou \ \ \partial_j \ u_i$ et non $u_j,_i\ ou \ \ \partial_i \ u_j$ il est donc la transposées de l'exemple si dessus.

Dans un champ vectoriel, l'approximation linéaire d'un vecteur se fait comme pour l'approximation d'une fonction scalaire :

Sommaire

1 Scalaire

2 Vectorielle

3 exemple d'aplication

4 Espace non Euclédien

Scalaire

$f(x+dx,y+dy) \approx f(x,y)+ \overrightarrow{grad} \ f(x,y) \cdot \vec{dx}$

Où le terme $\overrightarrow{grad} \ f(x,y) \cdot \vec{dx}$ est le scalaire différentiel d'ordre 1. En d'autres mots la différence de hauteur aproximative entre la fonction au point 1 et la fonction au point que l'on veut évaluer. Cette aproximation est du degré un, c'est-à-dire qu'elle est linéaire.

La série de Taylor pour une fonction scalaire d'une dimension autour de s'écrit:

$f(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{\partial^n \ f(x_0)}{n! \ \partial x^n} \ (x-x_0)^n$

Vectorielle

$u_i' \approx u_i + grad \ u_i \ \bar\otimes \ dx_j$

De la même façon, la série de Taylor pour une fonction vectorielle autour de $\vec x_0$ s'écrit:

$\vec u = \sum_{n=0}^\infty \frac {grad^n \ \vec u }{n!} \ \bar\otimes_n \ (\vec x-\vec x_0)$

où $\bar\otimes_n$ est la suite de produit tensoriel contracté ; l'équivalent du produit scalaire en notation tensorielle.

ex: $T_{ijkl} \ \bar\otimes_3 \ \vec V = T_{ijkl} \ \bar\otimes \ \vec V \ \bar\otimes \ \vec V\ \bar\otimes \ \vec V= \vec A=A_i$

où est le vecteur $\vec u$ évalué à la distance du point de dérivation.
et où $grad^n \ \vec u$ est un tenseur d'ordre n+1.

ex: $grad^3 \ \vec u = \partial_i \partial_j \partial_k u_l$

Ce raisonnement pourais aussi bien ètre utiliser pour un Champ tensoriel

exemple d'aplication

En élasticité des petites déformations, on peut retrouver la matrice des déformations comme la partie symétrique du gradiant des vecteurs déplacement.

$u_i' \approx u_i + grad \ u_i \ \bar\otimes \ dx_j = u_i + \frac{1}{2}[( u_i,_j +u_j,_i )+(u_i,_j -u_j,_i)] \bar\otimes \ dx_j = u_i +[\epsilon_{ij}+ \frac{1}{2} {rot}\ u_i] \bar\otimes \ dx_j$

Où $\frac {1}{2} (u_i,_j -u_j,_i)$ , la partie antisymétrique du gradiant des vecteurs, est la moitié du rotationel sous forme matricielle et s'écrit plus visuellement comme suit:

$Asym \ [grad \ \vec u] = \frac{1}{2}{rot}\ u_i=\frac{1}{2}(u_i,_j -u_j,_i) =\frac{1}{2}\begin{bmatrix} 0 & \frac {\partial u}{\partial y}-\frac {\partial v}{\partial x}& \frac {\partial u}{\partial z}-\frac {\partial w}{\partial x} \\ \frac {\partial v}{\partial x}- \frac {\partial u}{\partial y}& 0 & \frac {\partial v}{\partial z}-\frac {\partial w}{\partial y}\\ \frac {\partial w}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial z} & \frac {\partial w}{\partial y}-\frac {\partial v}{\partial z}& 0\end{bmatrix}$

Ici, on ne peut parler de produit extérieur de $\nabla$ avec $\vec U$ , en effet le produit extérieur de ces deux vecteurs donne:

$\nabla \wedge \vec U = \nabla \otimes \vec U - \vec U \otimes \nabla = \begin{bmatrix} \frac {\partial u}{\partial x}-u \frac {\partial }{\partial x} & \frac {\partial u}{\partial y}-v \frac {\partial }{\partial x} & \frac {\partial u}{\partial z}-w \frac {\partial }{\partial x} \\ \frac {\partial v}{\partial x}-u \frac {\partial }{\partial y}& \frac {\partial v}{\partial y}-v \frac {\partial }{\partial y} & \frac {\partial v}{\partial z}-w \frac {\partial }{\partial y}\\ \frac {\partial w}{\partial x}-u \frac{\partial }{\partial z} & \frac {\partial w}{\partial y}-v \frac {\partial }{\partial z}& \frac {\partial w}{\partial z}-w \frac {\partial }{\partial z}\end{bmatrix}$

Espace non Euclédien

L'étude d'une fonction vectorielle par Taylor ,faite plus haut ,ne s'aplique que dans un espace hortonormé. En dehor de cette condition il faut faire appel au Tenseur métrique.

Catégories: Algèbre linéaire | Physique

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