Page d'accueil encyclopedie-enligne.com en page d'accueil
Liste Articles: [0-A] [A-C] [C-F] [F-J] [J-M] [M-P] [P-S] [S-Z] | Liste Catégories | Une page au hasard | Pages liées

Analyse vectorielle


\Delta=\nabla^2 =\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}
article d' analyse vectorielle
en théorie physique
groupe
physique mathématique
Modèle standard (physique)

L'analyse vectorielle est une branche des mathématiques qui étudie les champs de scalaires et de vecteurs suffisamment réguliers des espaces euclidiens, c'est-à-dire les applications différentiables d'un ouvert d'un espace euclidien à valeurs respectivement dans et dans \mathbb R. Du point de vue du mathématicien, l'analyse vectorielle est donc une branche de la géométrie différentielle. Cette dernière inclus l'analyse tensorielle qui apporte des outils plus puissant et une analyse plus concise entre autre des champs vectorielles.

Mais l'importance de l'analyse vectorielle provient de son utilisation intensive en physique et dans les sciences de l'ingénieur. C'est de ce point de vue que nous la présenterons, et c'est pourquoi nous nous limiterons le plus souvent au cas où E = \mathbb R^3 est l'espace usuel à trois dimensions. Dans ce cadre, un champ de vecteur associe à chaque point de l'espace un vecteur (à trois composantes réelles), tandis qu'un champ de scalaires y associe un réel. Imaginons par exemple l'eau d'un lac. La donnée de sa température en chaque point forme un champ de scalaires, celle de sa vitesse en chaque point, un champ de vecteurs. (Pour une approche plus théorique, voir géométrie différentielle.)


Sommaire

Principaux opérateurs différentiels linéaires de tri

Le gradient, la divergence et le rotationnel sont les trois principaux opérateurs différentiels linéaires du premier ordre. Cela signifie qu'ils ne font intervenir que des dérivées partielles (ou différentielles) premières des champs, à la différence, par exemple, du laplacien qui fait intervenir des dérivées partielles d'ordre 2.

On les rencontre en particulier en mécanique des fluides et en électromagnétisme, où ils permettent d'exprimer facilement les propriétés du champ électromagnétique. La formulation moderne des équations de Maxwell utilise ces opérateurs.

L'opérateur formel nabla

L'opérateur nabla \nabla tire son nom d'une lyre antique qui avait la même forme de triangle pointant vers le bas. Il s'agit d'un opérateur formel de \mathbb R^3 défini en coordonnées cartésiennes par

\nabla = \begin{pmatrix} \frac {\partial}{\partial x} \\ \frac {\partial}{\partial y} \\ \frac {\partial}{\partial z} \\ \end{pmatrix}.

On écrit aussi \vec\nabla pour souligner que formellement, l'opérateur nabla a les caractéristiques d'un vecteur. On le qualifie d'ailleurs de pseudovecteur. Il ne contient certes pas de valeurs scalaires, mais on va utiliser ses éléments constitutifs (que l'on peut voir comme des opérations en attente d'argument) très exactement comme on aurait utilisé les valeurs scalaires composant un vecteur.

La notation nabla fournit un moyen commode pour exprimer les opérateurs vectoriels en coordonnées cartésiennes.

Le gradient

Le gradient est un opérateur qui s'applique à un champ de scalaires et le transforme en champ de vecteurs. Intuitivement, le gradient indique la direction de la plus grande variation du champ scalaire, et l'intensité de cette variation. Par exemple, le gradient de l'altitude est dirigé selon la ligne de plus grande pente et sa norme augmente avec la pente.

En mathématiques, le gradient du champ , supposé continûment différentiable, au point , est défini par la relation

\mathrm d f(a).h = (\mathrm \overrightarrow{\mathrm{grad}}_a f) \cdot h,

où désigne la valeur sur le vecteur de la différentielle de la fonction au point . Il en résulte immédiatement que la dérivée de la fonction en par rapport au vecteur est donnée par

\overrightarrow{\mathrm{grad}}_a f \cdot v.

En dimension 3 et coordonnées cartésiennes, le champ de gradients vérifie

\mathrm \overrightarrow{\mathrm{grad}} f = \vec\nabla f = \begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial x} \\ \frac{\partial f}{\partial y} \\ \frac{\partial f}{\partial z} \end{pmatrix}.

Cette relation peut servir, dans le cas particulier où elle s'applique, de définition du gradient. Elle se généralise naturellement en dimension quelconque en ajoutant des composantes au nabla.

La divergence

La divergence s'applique à un champ de vecteurs et le transforme en un champ de scalaires. Intuitivement, la divergence d'un champ vectoriel exprime sa tendance à provenir ou converger vers certains points.

En dimension 3 et en coordonnées cartésiennes, on peut définir la divergence par la relation

\mathrm{div} \vec F = \vec \nabla \cdot \vec{F} = \frac {\partial F_x} {\partial x} + \frac {\partial F_y} {\partial y} + \frac {\partial F_z} {\partial z}

\vec{F} = (F_x, F_y, F_z) désigne le champ vectoriel auquel est appliqué l'opérateur divergence. La divergence peut être vue, formellement, comme le produit scalaire de l'opérateur nabla par le vecteur « générique » du champ auquel elle est appliquée, ce qui justifie la notation \vec\nabla\cdot. Bien entendu, cette définition se généralise naturellement en dimension quelconque.

Une autre définition possible, plus générale mais plus difficile à formaliser, consiste à définir la divergence d'un champ de vecteurs en un point comme le flux local du champ autour de ce point.

Le rotationnel

Le rotationnel transforme un champ de vecteurs en un autre champ de vecteurs. Plus difficile à se représenter précisément que le gradient et la divergence, il exprime intuitivement la tendance qu'a un champ à tourner autour d'un point. Par exemple :

En dimension 3 et en coordonnées cartésiennes, on peut définir le rotationnel par la relation

{\overrightarrow{\mathrm{rot}}}\ \vec F = \vec \nabla \wedge \vec F = \begin{pmatrix} {\partial F_z / \partial y} - {\partial F_y / \partial z} \\ {\partial F_x / \partial z} - {\partial F_z / \partial x}\\ {\partial F_y / \partial x} - {\partial F_x / \partial y} \end{pmatrix} ,

\vec{F} = (F_x, F_y, F_z) désigne le champ vectoriel auquel est appliqué l'opérateur rotationnel. L'analogie formelle avec un produit vectoriel justifie la notation \vec\nabla\wedge.

Cela peut aussi s'écrire, tout aussi formellement, à l'aide d'un déterminant :

{\overrightarrow{\mathrm{rot}}}\ \vec F = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ f_x & f_y & f_z \end{vmatrix} ,

(\vec i, \vec j, \vec k) désigne la base canonique. Cette dernière expression est un peu plus compliquée que la précédente, mais elle se généralise facilement à d'autres systèmes de coordonnées.

Une autre définition possible, plus générale mais plus difficile à formaliser, consiste à définir le rotationnel d'un champ de vecteurs en un point comme la circulation locale du champ autour de ce point.

Opérateurs d'ordre supérieur

Le laplacien

Le plus utilisé des opérateurs d'ordre 2 est le laplacien, du nom du mathématicien Pierre-Simon Laplace. Le laplacien d'un champ est égal à la somme des dérivées secondes de ce champ par rapport à chacune des variables.

En dimension 3, il s'écrit :

\Delta=\nabla^2 =\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}.

Cette définition a un sens aussi bien pour un champ de scalaires que pour un champ de vecteurs. On parle respectivement de laplacien scalaire et de laplacien vectoriel. Le laplacien scalaire d'un champ de scalaires est un champ de scalaires alors que le laplacien vectoriel d'un champ de vecteurs est un champ de vecteurs. Pour distinguer ce dernier, on le note parfois \vec\Delta.

L'autre notation du laplacien qui apparaît ci-dessus, \nabla^2, invite à le considérer, formellement, comme le carré scalaire de l'opérateur nabla « \nabla ».

Le laplacien apparaît dans l'écriture de plusieurs équations aux dérivées partielles qui jouent un rôle fondamental en physique.


Expressions des opérateurs en différentes coordonnées

Coordonnées cylindriques

\vec{grad}f=\frac{\partial f}{\partial r}\vec{u_r}+\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta}\vec{u_\theta}+\frac{\partial f}{\partial z}\vec{u_z}
div\vec{A}=\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(rA_r)+\frac{1}{r}\frac{\partial A_\theta}{\partial \theta}+\frac{\partial A_z}{\partial z}
\vec{rot\vec{A}}=(\frac{1}{r}\frac{\partial A_z}{\partial \theta}-\frac{\partial A_\theta}{\partial z})\vec{u_r} + (\frac{\partial A_r}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial r})\vec{u_\theta} + \frac{1}{r}(\frac{\partial}{\partial r}(rA_\theta)-\frac{\partial A_r}{\partial \theta})\vec{u_z}
\Delta f=\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(r\frac{\partial f}{\partial r}) + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 f}{\partial \theta^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}

Coordonnées sphériques

\vec{grad}f=\frac{\partial f}{\partial r}\vec{u_r}+\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta}\vec{u_\theta}+\frac{1}{rsin\theta}\frac{\partial f}{\partial \varphi}\vec{u_\varphi}
div\vec{A}=\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}(r^2A_r)+\frac{1}{rsin\theta}\frac{\partial} {\partial \theta}(sin\theta A_\theta)+\frac{1}{rsin\theta}\frac{\partial A_\varphi}{\partial \varphi}
\vec{rot\vec{A}}=\frac{1}{rsin\theta}(\frac{\partial}{\partial \theta}(sin\theta A_\varphi)-\frac{\partial A_\theta}{\partial \varphi})\vec{u_r} + (\frac{1}{rsin\theta}\frac{\partial A_r}{\partial \varphi}-\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(rA_\varphi))\vec{u_\theta} + (\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(rA_\theta)-\frac{\partial A_r}{\partial \theta})\vec{u_\varphi}
\Delta f=\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}(r^2\frac{\partial f}{\partial r}) + \frac{1}{r^2 sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}(sin \theta\frac{\partial f}{\partial \theta}) + \frac{1}{r^2sin^2\theta}\frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2}

Voir aussi



This site support the Wikimedia Foundation. This Article originally from Wikipedia. All text is available under the terms of the GNU Free Documentation License Page HistoryOriginal ArticleWikipedia