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Anti-indicateur

En théorie des nombres, on dit qu'un entier positif n est un anti-indicateur si, pour tout entier x, l'équation $\varphi(x) = n\,$ , d'inconnue x, n'a pas de solution, la fonction $\varphi\,$ désignant l'indicatrice d'Euler. Tous les entiers impairs sont des anti-indicateurs, sauf 1, puisque, dans ce cas, x = 1 et x = 2 sont solutions de l'équation précédente.

Les premiers anti-indicateurs pairs sont :

14, 26, 34, 38, 50, 62, 68, 74, 76, 86, 90, 94, 98, 114, 118, 122, 124, 134, 142, 146, 152, 154, 158, 170, 174, 182, 186, 188, 194, 202, 206, 214, 218, 230, 234, 236, 242, 244, 246, 248, 254, 258, 266, 274, 278, 284, 286, 290, 298, 302, 304, 308, 314, 318

Un anti-indicateur pair peut être de la forme $p + 1\,$ , où $p\,$ est un nombre premier, mais jamais de la forme $p - 1\,$ , puisque $p - 1 = \varphi(p)\,$ quand p est premier (les entiers positifs inférieurs à un nombre premier donné sont tous premiers avec lui). De la même manière, un nombre oblong $n(n - 1)\,$ ne peut pas être un anti-indicateur lorsque n est premier puisque $\varphi(p^2) = p(p - 1)\,$ pour tout nombre premier $p\,$ .

Voir aussi

Anti-co-indicateur

Catégories: Arithmétique modulaire | Wikipédia:ébauche

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