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Fonction (mathématiques)

Mathématiques > algèbre abstraite > fonction

Sommaire

1 Présentation vulgarisée

9 Parité d'une fonction réelle

Présentation vulgarisée

On peut voir une fonction comme une transformation d'un objet en un autre objet. Ainsi, il y a des fonctions qui transforment les nombres en nombres (par exemple les polynômes, les fonctions trigonométriques...), des fonctions qui transforment des formes géométriques en formes géométriques (par exemple les rotations, translations, homothéties...), des fonctions qui transforment une forme géométrique en un nombre (par exemple la longueur d'un segment, l'aire délimitée par un polygone...).

Définitions

Une fonction d'un ensemble dans un ensemble , est la donnée d'une relation fonctionnelle de dans . est appelée le graphe de ; on note parfois pour indiquer de quelle fonction on parle.

On appelle domaine de définition de , l'ensemble des éléments $x\in E$ tels qu'il existe $y\in F$ vérifiant $(x,y)\in \Gamma$ . Le domaine de est un sous-ensemble de . Pour tout dans le domaine de , on note l'unique élément de tel que $(x,f(x))\in\Gamma$ .

On appelle image de , l'ensemble des éléments $y\in F$ tels qu'il existe $x\in E$ vérifiant . L'image de (notée $Im\, f$ ) est un sous-ensemble de .

L'image d'un sous-ensemble de par , est: $f(E')=\left\{y\in F/\exists x\in E/f(x)=y\right\}$ . C'est un sous-ensemble de , et on a clairement: $Im\,f=f(E)$ .

L'image réciproque d'un sous-ensemble de par , est: $f^{-1}(F')=\left\{x\in E/f(x)\in F'\right\}$ ; où l'on sous-entend que si n'est pas dans le domaine, le point n'est pas à considérer. C'est un sous-ensemble de .

Si une relation fonctionnelle est définie partout, c'est-à-dire si son domaine de définition est tout entier, on dit que c'est une application de dans .

On peut appliquer une fonction en un point de son ensemble de définition; le résultat est noté , et est l'unique élément de l'image tel que $(x,f(x))\in\Gamma_f$ .

Exemples

L'identité d'un ensemble est l'application de l'ensemble dans lui-même, qui à chaque élément associe le même élément.
Si et sont des ensembles non vides, et $f\in F$ , on peut définir l'application constante égale à de dans , par: $\left\{(x,y)\in E\times F/ y=f\right\}$

Restriction

Si $G \subset E$ est un sous-ensemble, et $f: E\rightarrow F$ une fonction, on peut définir la restriction de à , comme étant la fonction de dans , de graphe: $\left\{(x,y)\in G\times F/y=f(x)\right\}$ ; où là encore on sous-entend que l'on ne considère pas les hors domaine. On la note: .

Composition

La composition permet d'obtenir une troisième fonction à partir de deux autres, en les « appliquant » l'une après l'autre.

Soient $f:E\rightarrow F$ et $g:F\rightarrow G$ deux fonctions, leur fonction composée $g\circ f:E\rightarrow G$ a pour graphe:

$\Gamma_{g\circ f}=\left\{(x,z)\in E\times G /\exists y\in F / (x,y)\in\Gamma_f\and(y,z)\in\Gamma_g\right\}$

(c'est bien la même composition que celle qui est définie pour les relations en général!)

En particulier, si est dans l'ensemble de définition de $g\circ f$ , on a: $(g\circ f)(x)=g(f(x))$ .

Il faut noter que la composée de deux applications est une application, et la composée de deux fonctions une fonction; mais cette dernière composée peut avoir un domaine vide!

Injectivité

Une fonction est dite injective (ou que c'est une injection) lorsque $f(x)=f(z)\Rightarrow x=z$ .

Ce qui signifie que la fonction « distingue » les différents éléments de son domaine de définition.

La composée de deux injections est une injection, et si $g\circ f$ est une injection, alors est une injection.

Surjectivité

Une fonction est dite surjective (ou que c'est une surjection) lorsque $\forall y \in F, \exists x \in E / f(x)=y$ .

Autrement dit son image est l'ensemble d'arrivée tout entier, ce qui signifie que tout élément de l'ensemble d'arrivée peut être vu comme image d'un élément de l'espace de départ.

La composée de deux surjections est une surjection, et si $g\circ f$ est une surjection, alors est une surjection.

Bijectivité

Une application est dite bijective (ou que c'est une bijection) lorsqu'elle est à la fois injective et surjective.

La notion de bijection ne s'applique pas à toute fonction!

L'intérêt de la bijection est qu' à tout élément de l'espace d'arrivée (antécédent), correspond exactement un élément de l'espace de départ (image - on dit donc qu'un antécédent admet une unique image par f); on peut définir une application appelé la réciproque ou l'inverse (à ne pas confondre avec qui va « dans l'autre sens » (associant à toute image son unique antécédent), et telle que $f\circ f^{-1}$ et $f^{-1}\circ f$ soient les identités des espaces respectifs. est aussi une bijection.

La composée de deux bijections est une bijection, mais si la composée de deux applications est une bijection, on sait en général juste que l'une est une injection et l'autre une surjection.

Parité d'une fonction réelle

Une fonction $f : E\to F$ avec $E\subseteq\R$ et $F\subseteq\R$ est

paire si et seulement si pour tout de tel que $-x\in E$ , . Un exemple de fonction paire est la fonction cosinus.
impaire si et seulement si pour tout de tel que $-x\in E$ , . Un exemple de fonction impaire est la fonction sinus.

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