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Argument de la diagonale de Cantor

L'argument de la diagonale de Cantor est une démonstration du mathématicien allemand Georg Cantor de la non-dénombrabilité de l'ensemble des nombres réels.

Cette démonstration est la deuxième écrite par Cantor au sujet de la non dénombrabilité de $\mathbb{R}$ . La première démonstration n'utilise pas le développement décimal d'un nombre réel.

Depuis que cette technique a été inventée, elle a été utilisée dans de nombreuses démonstrations et l'utilisation de l'argument diagonal est ainsi devenue un classique de la démonstration en mathématiques.

Plutôt que de démontrer que $\mathbb{R}$ est indénombrable on va plutôt montrer que le sous-ensemble de $\mathbb{R}$ [0, 1] n'est pas dénombrable.

Le raisonnement par l'absurde :

(1) supposons que l'intervalle [0, 1] est dénombrable.
(2) Nous pouvons donc énumérer les nombres dans cet intervalle comme une suite, { r₁, r₂, r₃, ... }, tout nombre de cette suite peut s'écrire sous la forme :

 r_i = 0 , r_i1 r_i2 ... r_in ....

(3) Construisons maintenant un nombre réel x dans [0,1] en considérant le n^ième chiffre après la décimal de r_n. Par exemple pour la suite r :

 r₁ = 0 , 0 1 0 5 1 1 0 ... 
 r₂ = 0 , 4 1 3 2 0 4 3 ...
 r₃ = 0 , 8 2 4 5 0 2 6 ... 
 r₄ = 0 , 2 3 3 0 1 2 6 ...
 r₅ = 0 , 4 1 0 7 2 4 6 ... 
 r₆ = 0 , 9 9 3 7 8 1 8 ...
 r₇ = 0 , 0 1 0 5 1 3 0 ... 
 ...

les décimales que nous considérons sont ceux se situant sur la diagonale. On définit les chiffres composant x de la façon suivante : si le n^iéme chiffre de r_n est différent de un alors le n^iéme chiffre de x est 1 sinon le n^iéme est 2. Par exemple avec la suite ci-dessus :

x = 0 . 1 2 1 1 1 2 1

Le nombre x est clairement dans l'intervalle [0, 1]

(4) Toutefois x ne peut pas être dans la suite { r₁, r₂, r₃, ... }, car il n'est égal à aucun des nombres de la suite : il ne peut pas être égal à r₁ car le premier chiffre après le point décimal de x est différent du premier chiffre après la décimal de r₁, de même pour r₂, etc. donc x n'est pas élément de la suite r_i.
(5) Cette suite n'est donc pas une énumération de tous les réels de l'intervalle [0, 1]
(6) Cela est vrai pour toutes les suites possibles pouvant représenter l'intervalle [0, 1] et donc contredit (2) ainsi l'hypothèse (1) est fausse.

Conclusion : l'intervalle [0, 1] n'est pas infini dénombrable et a fortiori $\mathbb{R}$ .

Cantor a utilisé une forme généralisée de l'argument de la diagonale de Cantor pour démontrer le théorème de Cantor : pour tout ensemble S, l'ensemble des parties de S (noté généralement P(S)) est plus grand que S lui même, en d'autre termes il ne peut pas exister de surjection de S vers P(S).

Des raisonnements analogues ont été utilisés pour prouver l'existence ou la non existence de certains objets en mathématiques. Par exemple la preuve du problème de l'arrêt utilise essentiellement l'argument de la diagonale.

Cette démonstration montre que l'ensemble des nombres réels est plus grand que l'ensemble des nombres entiers. On peut se poser la question de savoir s'il existe un ensemble dont la cardinalité est plus grande que celle de $\mathbb{N}$ et plus petite que celle de $\mathbb{R}$ . Cela conduit a l'hypothèse du continu. De même la question de savoir s'il existe un ensemble de cardinalité comprise entre card(S) et card(P(S)) conduit à l'hypothèse du continu généralisée.

Voir aussi

Nombre transfini

Catégories: Théorie des ensembles | Démonstration mathématique

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