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Argument de la diagonale de Cantor


L'argument de la diagonale de Cantor est une démonstration du mathématicien allemand Georg Cantor de la non-dénombrabilité de l'ensemble des nombres réels.

Cette démonstration est la deuxième écrite par Cantor au sujet de la non dénombrabilité de \mathbb{R}. La première démonstration n'utilise pas le développement décimal d'un nombre réel.

Depuis que cette technique a été inventée, elle a été utilisée dans de nombreuses démonstrations et l'utilisation de l'argument diagonal est ainsi devenue un classique de la démonstration en mathématiques.

Plutôt que de démontrer que \mathbb{R} est indénombrable on va plutôt montrer que le sous-ensemble de \mathbb{R} [0, 1] n'est pas dénombrable.

Le raisonnement par l'absurde :

 ri = 0 , ri1 ri2 ... rin ....
 r1 = 0 , 0 1 0 5 1 1 0 ... 
 r2 = 0 , 4 1 3 2 0 4 3 ...
 r3 = 0 , 8 2 4 5 0 2 6 ... 
 r4 = 0 , 2 3 3 0 1 2 6 ...
 r5 = 0 , 4 1 0 7 2 4 6 ... 
 r6 = 0 , 9 9 3 7 8 1 8 ...
 r7 = 0 , 0 1 0 5 1 3 0 ... 
 ...
les décimales que nous considérons sont ceux se situant sur la diagonale. On définit les chiffres composant x de la façon suivante : si le niéme chiffre de rn est différent de un alors le niéme chiffre de x est 1 sinon le niéme est 2. Par exemple avec la suite ci-dessus :
x = 0 . 1 2 1 1 1 2 1
Le nombre x est clairement dans l'intervalle [0, 1]

Conclusion : l'intervalle [0, 1] n'est pas infini dénombrable et a fortiori \mathbb{R}.

Cantor a utilisé une forme généralisée de l'argument de la diagonale de Cantor pour démontrer le théorème de Cantor : pour tout ensemble S, l'ensemble des parties de S (noté généralement P(S)) est plus grand que S lui même, en d'autre termes il ne peut pas exister de surjection de S vers P(S).

Des raisonnements analogues ont été utilisés pour prouver l'existence ou la non existence de certains objets en mathématiques. Par exemple la preuve du problème de l'arrêt utilise essentiellement l'argument de la diagonale.

Cette démonstration montre que l'ensemble des nombres réels est plus grand que l'ensemble des nombres entiers. On peut se poser la question de savoir s'il existe un ensemble dont la cardinalité est plus grande que celle de \mathbb{N} et plus petite que celle de \mathbb{R}. Cela conduit a l'hypothèse du continu. De même la question de savoir s'il existe un ensemble de cardinalité comprise entre card(S) et card(P(S)) conduit à l'hypothèse du continu généralisée.


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