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Axiomes de Peano

Les axiomes

Giuseppe Peano a proposé les 5 axiomes suivants pour construire les entiers naturels:

1. 0 est un entier naturel (c'est-à-dire que l'ensemble des naturels n'est pas vide).
2. Tout entier naturel n a un successeur, noté s(n).
3. Aucun entier naturel n'a 0 pour successeur (l'ensemble des naturels a un premier élément).
4. Deux entiers naturels ayant même successeur sont égaux.
5. Si un ensemble d'entiers naturels contient 0 et contient le successeur de chacun de ses élements alors cet ensemble est égal à N. (c'est le principe de récurrence).

Ces axiomes définissent l'arithmétique de Peano. En vertu du théorème d'incomplétude de Gödel, il est impossible de démontrer la cohérence (l'absence de démonstrations de propriétés fausses) de cette arithmétique à l'intérieur d'elle-même. (En revanche, toute propriété vraie est démontrable, par le théorème de complétude.)

Propriété

Il existe un ensemble vérifiant les axiomes de Peano. Si est un autre ensemble vérifiant les axiomes de Peano, alors est isomorphe à , c'est-à-dire qu'il existe une bijection de sur telle que :