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Arrangement avec répétition

En mathématiques, lorsque nous rangeons dans un certains ordre k objets, choisis parmi n objets discernables, chaque objet pouvant être répété, nous pouvons représenter les différents rangements par des k-uplets (ou des k-listes). Par exemple, quand nous tirons successivement avec remise k boules dans une urne contenant n boules numérotées de 1 à n, nous pouvons représenter ces tirages par des k-listes de boules ou par des applications de {1, 2, ..., k} dans l'ensemble des boules.

Il y a plusieurs définitions d'un arrangement avec répétition.

Définition :

Étant donnés un ensemble fini E de cardinal n (n ∈ ℕ^⁎) et k un entier naturel, un k-arrangement avec répétition d'éléments de E, ou arrangement avec répétition de n éléments pris k à k, est un k-uplet d'éléments de E. Un tel k-uplet est aussi appelé une k-liste d'éléments de E.

Définition :

Étant donnés un ensemble fini E de cardinal n (n ∈ ℕ^⁎) et k un entier naturel, un k-arrangement avec répétition d'éléments de E, est une application de {1, 2, ..., k} dans E.

Nombre d'arrangement avec répétition

Théorème :

Soient E un ensemble fini de cardinal n (n ∈ ℕ^⁎) et k un entier naturel. L'ensemble des arrangements avec répétition est fini et son cardinal est égal à n^k.

Démonstration :

• Cas où un arrangement avec répétition est un kuplet.
  L'ensemble des k-arrangements avec répétition de E n'est autre que E^k=E × E × E × ... × E (k fois) et

.

• Cas où un arrangement avec répétition est une application de {1, 2, ..., k} dans E.
  Pour construire une application de {1, 2, ..., k} dans E, il suffit de
  • choisir l'image de 1 et il y a n choix possibles,
  • choisir l'image de 2 et il y a encore n choix possibles,
  • etc.
  • et enfin choisir l'image de k et il y a toujours n possibilités.

D'où au total n × n × ... × n=n^k applications différentes.

Exemple

En morse, les mots sont écrits avec un alphabet de deux symboles ─ et ●. Soit k un entier naturel non nul. Un mot de k lettres est un k-arrangement avec répétition de l'ensemble { ─ , ● }, donc il y a 2^k mots d'exactement k lettres.

Voyez également

• Arrangement
• Combinatoire