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Axiome d'extensionnalité

Dans la théorie axiomatique des ensembles et dans les branches de la logique, des mathématiques, et de l'informatique, l'axiome d'extensionnalité, ou l'axiome d'extension, est l'un des axiomes de la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel.

Dans le langage formel de l'axiomatique de Zermelo-Fraenkel, l'axiome s'écrit:

ou en d'autres termes:

étant donnés des ensembles A et B quelconques, A est égal à B si et seulement si, quel que soit l'ensemble C, C est un élément de A si et seulement si C est un élément de B.

(il n'est pas vraiment essentiel ici que C soit un ensemble, mais dans ZF, tout est ensemble. Voir les ur-éléments ?? ci-dessous, pour savoir dans quel cas cette condition est enfreinte.)

Pour comprendre cet axiome, notez que la clause entre parenthèses dans l'affirmation symbolique ci-dessus, déclare simplement que A et B possèdent exactement les mêmes éléments. Ainsi, ce que l'axiome affirme réellement est que deux ensembles sont égaux lorsqu'ils ont précisément les mêmes éléments. Essentiellement, il exprime que:

un ensemble est complètement déterminé par ses éléments.

L'axiome d'extensionnalité peut être employé avec n'importe quelle proposition de la forme:

où P représente un prédicat unaire quelconque qui ne mentionne pas A. Cela permet de définir un ensemble unique A dont les éléments sont exactement les ensembles satisfaisant le prédicat P. Nous pouvons alors introduire un nouveau symbole pour A. C'est de cette façon que de nouvelles définitions sont introduites dans les mathématiques ordinaires; les propositions des définitions sont réduites à des formulations en termes de la théorie des ensembles.

L'axiome d'extensionnalité est généralement considéré comme indiscutable, et lui ou l'un de ses équivalents apparaît dans toute les axiomatiques alternatives de la théorie des ensembles. Cependant, elle peut subir des modifications pour satisfaire certaines exigences, comme ci-dessous.

Dans la logique des prédicats sans égalité

L'axiome donné ci-dessus suppose que l'égalité est un symbole primitif dans la logique des prédicats. Certains développements de la théorie axiomatique des ensembles n'introduisent pas l'égalité de cette façon, et la proposition précédente n'est pas considérée comme un axiome mais plutôt comme une définition de l'égalité. Il est alors nécessaire d'inclure les axiomes habituels de l'égalité de la logique des prédicats dans la théorie comme axiomes relatifs à la définition de ce symbole.

Dans une théorie des ensembles avec des ur-éléments

Un ur-élément ?? est un élément d'un ensemble qui n'est pas lui-même un ensemble. Dans la théorie de Zermelo-Fraenkel, il n'y a aucun ur-élément, mais certaines axiomatiques alternatives de la théorie des ensembles en ont. Les ur-éléments peuvent être considérés comme logiquement différents des ensembles; dans le cas, où A est un ur-élément, n'a aucun sens, ainsi, l'axiome d'extensionnalité ne s'applique qu'aux ensembles.

Alternativement, dans une logique non typée, nous pouvons avoir besoin de considérer comme faux toutes les fois où A est un ur-élément. Dans ce cas, l'axiome habituel d'extensionnalité impliquerait que tout ur-élément est égal à l'ensemble vide. Pour éviter cela, nous pouvons modifier l'axiome d'extensionnalité afin qu'il ne puisse s'appliquer qu'aux ensembles non vides. Il s'énonce alors :

C'est-à-dire :

étant donnés des ensembles A et B quelconques, si A est un ensemble non vide (c'est-à-dire, s'il existe au moins un élément C de A), alors A et B sont égaux si et seulement s’ils ont exactement les mêmes éléments.