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Axiome de l'ensemble des parties

En mathématiques, l'axiome de l'ensemble des parties est l'un des axiomes de Zermelo-Fraenkel de la théorie axiomatique des ensembles. Dans le langage formel des axiomes de Zermelo-Fraenkel, l'axiome s'écrit:

ou en d'autres termes:

étant donné un ensemble quelconque A, il existe un ensemble B tel que, pour tout ensemble quelconque C, C est un élément de B si et seulement si, quel que soit l'ensemble D, si D est un élément de C, alors D est un élément de A.

Pour comprendre cet axiome, notez que la clause entre parenthèses dans l'affirmation symbolique ci-dessus déclare simplement que C est un sous-ensemble de A. Ainsi, l'axiome affirme réellement qu'étant donné un ensemble A, nous pouvons trouver un ensemble B dont les éléments sont précisément les sous-ensembles de A. Nous pouvons employer l'axiome d'extensionnalité pour prouver que cet ensemble B est unique. Nous appelons l'ensemble B l'ensemble des parties de A, et le notons . L'axiome affirme donc essentiellement que:

l'ensemble des parties d'un ensemble est un ensemble.

L'axiome de l'ensemble des parties est généralement considéré comme incontestable, et lui ou l'un de ses équivalents apparaît dans presque toute axiomatique alternative de la théorie des ensembles.