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Axiome de l'ensemble vide

Dans la théorie axiomatique des ensembles et dans les branches de la logique, des mathématiques, et de l'informatique, l'axiome de l'ensemble vide est l'un des axiomes de la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel.

Dans le langage formel des axiomes de Zermelo-Frankel, l'axiome s'écrit:

ou en d'autres termes:
Il existe un ensemble A tel que, pour tout ensemble B quelconque, B n'est pas un élément de A.

Nous pouvons employer l'axiome d'extensionnalité pour démontrer que cet ensemble A est unique. Nous appelons l'ensemble A, l'ensemble vide, et le notons ou {}.

Essentiellement, l'axiome affirme que:

l'ensemble vide existe

L'axiome de l'ensemble vide est généralement considéré comme indiscutable, et lui ou l'un de ses équivalents apparaît dans n'importe quelle axiomatique alternative de la théorie des ensembles.

L'axiome de l'ensemble vide peut également être vu comme cas particulier d'une généralisation de l'axiome de la paire.

Dans certaines formulations de ZF, l'axiome de l'ensemble vide est répété dans l'axiome de l'infini. D'autre part, d'autres formulations de ce dernier axiome ne présupposent pas l'existence d'un ensemble vide. En outre, les axiomes de ZF peuvent être écrits en utilisant un prédicat constant représentant l'ensemble vide; l'axiome de l'infini utilise alors ce prédicat sans exiger de lui qu'il soit vide, tandis que l'axiome de l'ensemble vide est nécessaire pour le déclarer vide. Par ailleurs, on considère parfois des théories des ensembles dans lesquelles aucun ensemble n'est infini, et l'axiome de l'ensemble vide n'est dans ce cas d'aucune utilité. Il peut être démontré en utilisant le schéma d'axiome de séparation, que tout axiome qui affirme l'existence d'un quelconque ensemble implique l'axiome de l'ensemble vide.