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Axiome du choix

L'axiome du choix est un axiome de la théorie des ensembles.

Énoncé

« Etant donnée une famille d'ensembles, il existe une fonction qui à chacun d'entre eux associe un de ses éléments. »

Il existe d'autres formulations, dont les suivantes :

• Le produit d'une famille d'ensembles non vides est non vide
• Théorème de Zermelo : Tout ensemble est bien ordonnable (peut être muni d'une structure de bon ordre)
• Lemme de Zorn : Tout ensemble inductif admet un élément maximal

Particularités

Cet axiome fait partie des axiomes optionnels et controversés de la théorie des ensembles. Il est indépendant de la théorie ZF (le jeu d'axiomes non controversés de la théorie des ensembles). On appelle théorie ZFC, la théorie ZF munie en plus de l'axiome du choix.

Certains mathématiciens se montrent plus satisfaits d'une démonstration s'ils peuvent éviter d'avoir recours à cet axiome du choix, mais la plupart des mathématiciens l'utilisent sans réticence particulière.

Anecdote

Bertrand Russell disait à propos de l'axiome du choix : Pour choisir une chaussette plutôt que l'autre pour chaque paire d'une collection infinie, on a besoin de l'axiome du choix. Mais pour les chaussures, ce n'est pas la peine.

Explication :

• Quand on dispose d'une paire de chaussettes quelconque, on n'a aucun moyen a priori de distinguer une chaussette de l'autre, ce sont des objets a priori identiques et même si chaque matin on arrive à choisir laquelle on va mettre en premier, on serait bien en peine de trouver un procédé général (algorithme) qui nous permette de renouveler l'exploit éternellement.
• Pour les chaussures, il existe un moyen de choisir qui marche tout le temps (une fonction de choix naturelle) : choisir toujours la chaussure gauche (ou droite) puisqu'il y a toujours une chaussure gauche et une chaussure droite. On dispose ainsi d'un algorithme simple.

Voir aussi

Pour plus de détails : Théorie axiomatique des ensembles.

Résultats liés à l'axiome du choix :

• Lemme de Zorn
• Théorème de Zermelo
• Théorème de la base incomplète