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Base de Hilbert

Les bases de Hilbert sont une généralisation aux espaces de Hilbert de la notion classique de base en algèbre linéaire.

Comme dans le cas des bases habituelles, il s'agit de pouvoir décomposer n'importe quel vecteur de l'espace en somme de vecteurs colinéaires à ceux de la famille choisie. Cependant dans le cas d'une base de Hilbert, on ne peut pas (généralement) écrire une égalité entre le vecteur décomposé et une combinaison linéaire finie des vecteurs de la base : on doit généralement se contenter d'une série dont les termes sont des vecteurs de la base, et convergeant vers le vecteur à décomposer (la notion de convergence d'une série a ici un sens car on est dans un espace de Banach).

Sommaire

Définition

Soit un espace de Hilbert de dimension infinie, et $F = (f_i)_{i\in\N}$ une famille de vecteurs de . On dit que est une base de Hilbert de si :

est une famille orthonormale de , c'est-à-dire si :
- $\forall i\in \N\ \forall j\in \N\ i\ne j \Rightarrow <f_i \cdot f_j> = 0$ ;
- $\forall i\in \N\ <f_i \cdot f_i> = ||f_i|| = 1$

(dans ce cas la famille est nécessairement libre)

$\forall x\in H\ \exists (\lambda_i)_{i\in\N}\ t.q.\ \sum_{i=0}^{\infty} \lambda_i.f_i = x$ .

Dans ce cas, la famille $(\lambda_i)_{i\in\N}$ est unique pour chaque vecteur ; ce sont ses coordonnées dans la base de Hilbert .

Propriétés

Théorème 1 : une famille orthonormale de est une base de Hilbert si et seulement si le sous-espace vectoriel qu'elle engendre est dense dans .

Ainsi une base de Hilbert de n'est pas une base de , mais une base orthonormale d'un sous-espace , qui est dense dans et qui permet donc d'approcher tous les éléments de .

Théorème 2 (relation de Parseval) : une famille orthonormale $F = (f_i)_{i\in\N}$ de est une base de Hilbert si et seulement si :

$\forall x \in H\ \sum_{i=0}^{\infty} <x \cdot f_i>^2 = ||x||^2$

C'est une généralisation du théorème de Pythagore, bien connue dans le cadre des séries de Fourier.

Théorème 3 : tout espace de Hilbert admet une base de Hilbert.

La démonstration de ce dernier théorème nécessite l'axiome du choix.

Exemples

L'exemple classique de base de Hilbert (et même l'origine du concept) est l'ensemble des fonctions trigonométriques et , pour l'espace de Hilbert (voir les espaces L^p).

Voir aussi

Catégories: Topologie | Algèbre linéaire

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