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Base naturelle des logarithmes

La constante mathématique (parfois appelée constante de Néper du nom du mathématicien écossais John Napier qui introduisit les logarithmes) est la base des logarithmes naturels. Le nombre e appelé nombre exponentiel par Euler en 1761, vaut approximativement

$e \approx 2,718\;281\;828\;459\;045\;235\;360\;287\;4 .....$

e est égal à exp(1) où exp est la fonction exponentielle et est ainsi égal à la limite :

$e = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n$

et peut être aussi écrit comme une somme de série

$e = {1 \over 0!} + {1 \over 1!} + {1 \over 2!} + {1 \over 3!} + {1 \over 4!} + \cdots$

Ici représente la factorielle de .

Le nombre e présente un intérêt parce que l'on peut montrer que

pour tout réel x, (e à la puissance x);

donc par exemple, on a :

$\exp(3)=e\times e \times e=e^3$ ou encore

$\exp(-4)=\frac{1}{e}\times \frac{1}{e}\times \frac{1}{e}\times \frac{1}{e}=\left(\frac{1}{e}\right)^4=e^{-4}$

Le nombre e est un nombre irrationnel et même transcendant. L'irrationalité de e fut démontrée par Lambert en 1761 et plus tard par Euler. La preuve de la transcendance de e fut établie par Hermite en 1873.

Il a été conjecturé que e était un nombre normal ou aléatoire.

Il intervient (avec quelques autres constantes fondamentales) dans l'identité d'Euler :

$e^{i\pi}+1=0 \,$

Le développement en fraction continue de s'écrit sous la forme intéressante :

$e=2+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{4+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{6+\ldots}}}}}}}}$

Démonstration

Démonstration de l'irrationalité de e

Catégories: Nombre

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