Page d'accueil encyclopedie-enligne.com en page d'accueil
Liste Articles: [0-A] [A-C] [C-F] [F-J] [J-M] [M-P] [P-S] [S-Z] | Liste Catégories | Une page au hasard | Pages liées

Bijection


Une fonction fX → Y est dite bijective ou est une bijection si pour tout y dans l'ensemble d'arrivée Y il existe un et un seul x dans l'ensemble de définition X tel que f(x) = y. De manière équivalente, une bijection est une fonction qui est à la fois injective et surjective. Les bijections sont aussi appelées des applications biunivoques.

Lorsque X et Y sont tous les deux égaux à la droite réelle \mathbb R, une fonction bijective f:\mathbb R\rightarrow \mathbb R a un graphe qui intersecte toute droite horizontale en exactement un point.

Si X et Y sont des ensembles finis, alors il existe une bijection entre les deux ensembles X et Y si et seulement si X et Y ont le même nombre d'éléments. La généralisation de cela aux ensembles infinis mène au concept de cardinal d'un ensemble, une façon de distinguer les différentes tailles infinies d'ensembles infinis.


Exemple concret

Prenons le cas d'une station de vacances. Il y correspond l'application d'un certain ensemble de touristes sur un certain nombre de chambres d'hôtel :

Exemples et contre-exemples

Considérons la fonction f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R définie par f(x) = 2x + 1. Cette fonction est bijective, puisque pour tout nombre réel arbitraire donné y, nous pouvons trouver exactement une solution réelle de l'équation y = 2x + 1 d'inconnue x à savoir x = (y − 1)/2.

D'un autre côté, la fonction g:\mathbb R \rightarrow \mathbb R définie par g(x) = x2 n'est pas bijective, pour essentiellement deux raisons différentes. La première est que, nous avons (par exemple) g(1) = 1 = g(−1), et donc g n'est pas injective; la seconde est qu'il n'y a (par exemple) aucun nombre réel x tel que x2 = −1, et donc g n'est pas surjective non plus. L'une ou l'autre de ces constatations est suffisante pour montrer que g n'est pas bijective.

D'autre part, si nous définissons la fonction h:\mathbb R_+ \rightarrow \mathbb R_+ par la même relation que g, mais avec les ensembles de définition et d'arrivée restreints à \mathbb R_+, alors la fonction h est bijective. L'explication est que, pour un nombre réel positif donné y, nous pouvons trouver exactement une solution réelle positive de l'équation y = x2 qui est x = √y.

Propriétés


Voir aussi Surjection, Injection, Théorème de la bijection



This site support the Wikimedia Foundation. This Article originally from Wikipedia. All text is available under the terms of the GNU Free Documentation License Page HistoryOriginal ArticleWikipedia