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Borne supérieure

Définition

Dans un ensemble ordonné E, la borne supérieure (resp. borne inférieure) d'une partie majorée (resp. minorée) F de E est, s'il existe, le plus petit (resp. le plus grand) majorant (resp. minorant) de F. Elle est classiquement notée sup(F) (resp. inf(F) ).

Une partie, même majorée, d'un ensemble ordonné ne possède pas nécessairement une borne supérieure ou inférieure.

Exemples

Toute partie majorée non vide de l'ensemble des nombres réels possède une borne supérieure.
La borne supérieure (resp. inférieure) de l'intervalle est 1 (resp. 0).
L'ensemble des nombres rationnels dont le carré est inférieur à 2 est une partie majorée de $\mathbb Q$ qui n'a pas de borne supérieure.
La partie $\mathbb R^-$ de $\mathbb R$ ne possède pas de borne inférieure. Toutefois, considéré comme sous-ensemble de $\overline{\mathbb R}$ , il admet $-\infty$ comme borne inférieure.

Notions connexes

Catégories: Théorie des ordres

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