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Calcul intégral (mathématiques élémentaires)

Primitives

Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Une fonction F est une primitive de f sur l’intervalle I si F est dérivable sur I et si pour tout x de I, F '(x) = f (x).

Théorème :

Si f est une fonction continue sur un intervalle I, alors il existe au moins une fonction F dérivable sur I telle que f soit la dérivée de F sur I. F est alors une primitive de f sur I.

Par exemple, si f est définie sur ℝ par :

pour tout réel x, f(x) = 6x

alors la fonction F définie sur ℝ par

pour tout réel x, F(x) = 3x²

admet pour dérivée f, et donc F est une primitive de f sur ℝ.

Un autre exemple, si f est définie par

pour tout réel x, f(x) = 3x²+2x+1,

alors la fonction F définie par :

pour tout réel x, F(x)= x³+x²+x+1

est une primitive de f sur ℝ.

Remarque :

Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
Si F est une primitive de f sur I, alors pour toute constante k, la fonction G définie par

pour tout réel x, G(x) = F(x) + k

est aussi une primitive de f sur I car la dérivée d'une application constante est la fonction nulle.
Nous en déduisons que si f admet une primitive sur I alors elle en admet une infinité.

Proposition :

Deux primitives d’une fonction diffèrent d’une constante.

En effet soit f une fonction définie sur un intervalle I, F et G deux primitives de f.

Nous avons F’=G’=f donc (F-G)’=0.

I étant un intervalle, nous en déduisons qu’il existe C une application constante définie sur I telle que F-G=C soit F=G+C

Ensemble des primitives d’une fonction sur un intervalle

Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
Si f admet une primitive F sur I, alors l'ensemble des primitives de f sur I est l'ensemble des fonctions G de la forme :

G:I →ℝ

x↦F(x)+k

où k est une constante réelle.

Par exemple, si f est la fonction définie sur ℝ par :

pour tout réel x, f(x) = 4x - 2

alors la fonction F définie sur ℝ par

pour tout réel x, F(x) = 2x² - 2x

est une primitive de f sur ℝ et donc toutes les primitives de f sur ℝ sont les fonctions de la forme :

ℝ→ℝ

x↦2x² - 2x +k

où k constante réelle.

Conséquences :

• La fonction nulle sur un intervalle I, admet comme primitives les fonctions constantes sur I.
• Soit I un intervalle, a un réel de I et b un réel quelconque.
  Il existe une et une seule primitive F, d’une fonction f continue sur I, telle que F(a)=b.
  F est appelée la primitive de f sur I vérifiant la condition initiale: F(a) = b.

Question :

Soit f l’application définie sur ℝ par :

pour tout réel x, f(x) = 7x - 3

Quelle est la primitive de f vérifiant la condition initiale F(1)=1 ?

Intégrale

Définition de l’intégrale à partir de la notion de primitive

Soit f une fonction définie sur un intervalle I et admettant des primitives sur I. Soient a et b dans I. Soit F une primitive de f sur I. Nous appelons intégrale de a à b de f, le nombre :

F(b)-F(a)

qui ne dépend pas du choix de la primitive de f, puisque les primitives de f sur l’intervalle I diffèrent d’une fonction constante. Nous notons ce nombre :

qui se lit « somme de a à b de f », et nous pouvons aussi le noter

qui se lit « F pris entre a et b »

Dans la notation avec le symbole ∫, t joue le rôle d’une variable muette, et nous avons

,

de plus le nombre représenté par cette intégrale ne dépend pas de t.

Remarquons que l’application définie sur I :

n’est autre que la primitive de f qui s’annule en a et cette fonction G est donc la seule fonction dérivable sur I telle G '=f et G(a) = 0.
Nous avons donc

Propriétés de l’intégrale

Linéarité de l'intégrale

Si f et g sont deux fonctions définies sur un intervalle I et admettant des primitives sur I, alors la fonction f+g admet aussi des primitives sur I et pour tout a et tout b de I, on a :

De plus, si λ est un réel quelconque alors la fonction λ.f admet des primitives sur I et :

Relation de Chasles

Soient a et b deux réels de l’intervalle I. Si f une fonction définie sur I et admettant des primitives sur I, alors pour tous a, b et c dans I

(relation de Chasles)

En effet si F est une primitive de f sur I alors :

F(b) - F(a) = (F(c) - F(a)) + (F(b) - F(c)).

En prenant a = b dans la relation de Chasles, nous obtenons :

en effet

Positivité de l’intégrale

Soit f une fonction définie sur l'intervalle I qui admet des primitives sur I, et si a et b sont deux réels dans I tels que a ⩽ b.
Si pour tout réel x de [a, b], f(x)⩾0 alors

En effet sous cette condition, toute primitive de f sur l’intervalle I est croissante.

Conséquences :

Croissance de l’intégrale

Si f et g admettent des primitives sur I et si pour tout x dans [a, b], f(x) ⩽ g(x) alors

en posant h=g-f et en utilisant la positivité de l’intégrale

Inégalité de la moyenne

S’il existe m et M des réels tels que pour tout x dans [a, b], m ⩽f(x) ⩽M, alors

S’il existe un réel M tel que pour tout x dans [a, b], |f(x)| ⩽ M, alors

S’il existe un réel M tel que pour tout x dans I, |f(x)| ⩽ M, alors pour tout a et tout b dans I,

Forme simple du premier théorème de la moyenne

Si f est continue sur I, alors pour tout a et tout b dans I, il existe un réel c compris entre a et b tel que :

Valeur Moyenne d'une fonction

Si f admet des primitives sur un intervalle I, si a et b sont dans I tels que a<b, nous appelons valeur moyenne de f sur [a, b], le nombre :

Parité

Soit f une fonction qui admet des primitives sur un intervalle I centré par rapport à O. Si a est un réel, tel que a et -a appartiennent à I, alors:

• si f est paire,
• si f est impaire,

Intégrale et aire

Un cas particulier :

Soient a et b deux réels tels que a⩽b. Soit f une fonction constante sur [a, b] et soit c tel que

pour tout réel x de [a, b], f(x)=c

Alors l’intégrale de a à b de f est égale à c(b-a) et représente l’aire algébrique du rectangle de sommets (a, 0), (b, 0), (b, c) et (a, c).

Théorème :

Soient a et b deux réels tels que a⩽b. Soit f une fonction continue sur [a, b]. Soit (x₀, x₁, …, x_n) une suite strictement croissante de points partageant le segment [a, b] en n intervalles de longueur

Nous avons alors pour tout i compris entre 0 et n,

Alors la somme

tend vers lorsque n tend vers .

Interprétation graphique

Cette somme (appelée somme de Riemann) représente graphiquement la somme algébrique des aires des rectangles de gauche et est une valeur approchée de .

Si f est une fonction positive continue sur [a, b] et si est la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthogonal (O ; i, j), est la mesure de l’aire du domaine du plan Δ délimité par , l’axe des abscisses O x et les droites d’équations x=a et x=b. L’unité d’aire étant l’aire du rectangle O I K J.

Méthodes de calcul d'une intégrale

Calcul direct à l'aide des primitives usuelles

Intégration par parties

Théorème :

Soit I un intervalle. Soient f et g deux fonctions dérivables sur I telles que les fonctions f ’ g et f g ’ soient continues sur I. Soit a un réel dans I. Alors, pour tout réel x dans I

En particulier :

Théorème :

Soient a et b deux réels tels que a⩽b. Soient f et g deux fonctions dérivables sur [a, b] et telles que les fonctions f ’ g et f g ’ soient continues sur [a, b]. Alors :

Intégration par la méthode des résidus

Calcul numérique approché d'une intégrale

On considère ici le cas d'une fonction définie sur . On définit le "pas" d'approximation de la manière suivante : ; détermine la précision de l'approximation. On définit aussi .

Méthode des rectangles

La méthode des rectangles revient à une approximation de par une fonction en escalier, avec "marches" de longueur . La valeur approchée de l'intégrale vaut alors :
.

Méthode des trapèzes

Cette fois-ci, on utilise une ligne polygonale pour obtenir une approximation graphique de la valeur de l'intégrale. En remplaçant par des trapèzes les rectangles utilisés précédemment, on obtient :
.

On peut déterminer la précision de cette approximation en utilisant la formule suivante :
avec la plus grande valeur de la dérivée d'ordre 2 de sur et la valeur exacte de l'intégrale.

Méthode de Simpson

On utilise maintenant des paraboles que l'on fait passer par trois points consécutifs du découpage en 2n segments de sur son intervalle d'intégration. On obtient alors une valeur approchée de I avec la formule suivante :


On peut ici aussi déterminer la précision de la méthode, avec la formule suivante :
avec la plus grande valeur de la dérivée d'ordre 4 de sur et la valeur exacte de l'intégrale.

Voir aussi

Intégrale