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Caractère de Dirichlet

En théorie des nombres, un caractère de Dirichlet est une fonction $\chi\,$ de l'ensemble des nombres entiers dans l'ensemble des nombres complexes, qui possède les propriétés suivantes :

il existe un entier positif k tel que $\chi(n) = \chi(n + k)\,$ pour tous les n. Ceci veut dire que le caractère est périodique de période k.
$\chi(n) = 0\,$ pour chaque n avec pgcd(n,k) > 1
$\chi(mn) = \chi(m)\chi(n)\,$ pour tous les entiers positifs m et n
$\chi(1) = 1\,$

Sommaire

Propriétés

Les deux derniers axiomes montrent qu'un caractère de Dirichlet $\chi\,$ est une fonction complètement multiplicative. On peut aussi montrer que $\chi(n)\,$ est une racine de l'unité $\varphi(n)$ -ième lorsque n et k sont premiers entre eux, $\varphi$ désignant l'indicatrice d'Euler.

Un caractère de Dirichlet est un caractère d'un groupe $\mathbb Z/N\mathbb Z$ . est appelé son conducteur.

Si $\chi\,$ est un caractère de Dirichlet modulo , et est un autre entier, on peut définir un autre caractère de Dirichlet, de conducteur en composant $\chi\,$ avec l'application canonique : $\mathbb Z/MN\mathbb Z\rightarrow\mathbb Z/N\mathbb Z$ . Un caractère de Dirichlet est dit primitif lorsqu'on ne peut pas l'obtenir ainsi via un caractère de conducteur plus petit.

Exemples

Un exemple de caractère de Dirichlet est la fonction $\chi(n) = (-1)^{\frac{(n-1)}{2}}$ pour les nombres impairs n et $\chi(n) = 0\,$ pour les nombres pairs n. Ce caractère est de période 4.

Si p est un nombre premier, alors la fonction $\chi(n) = \left(\frac{n}{p}\right)$ (le symbole de Legendre) est un caractère de Dirichlet de période p.

Séries L

Si χ est un caractère de Dirichlet, on peut définir sa série L de Dirichlet par

$L(s,\chi) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\chi(n)}{n^s}$

où s est un nombre complexe avec une partie réelle > 1. Par continuité analytique, cette fonction peut être étendue à une fonction méromorphe sur le plan complexe entier.

Les séries L de Dirichlet sont les généralisations directes de la fonction Zeta de Riemann et apparaît comme prééminente dans l' hypothèse de Riemann généralisée.

Histoire

Les caractères de Dirichlet et leurs série L furent introduit par Dirichlet, en 1831, en vue de prouver le théorème de Dirichlet à propos de l'infinité des nombres premiers dans les progressions arithmétiques. L'extension aux fonctions holomorphes fut accomplie par Bernhard Riemann.

Voir aussi

Relations d'orthogonalité

Dualité de Pontryagin?

Hypothèse de Riemann généralisée

Catégories: Nombre

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