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Barycentre

Le barycentre est un point mathématique (géométrie analytique) construit à partir d'un ensemble d'autres. Il correspond

en statistiques à la notion de moyenne (ou espérance),
en physique (cinématique, mécanique du point) à la notion de centre d'inertie (ou centre de masse ou centre de gravité),
et en mécanique du solide à la notion de moment (moment d'inertie, moment cinétique).

On l'utilise également ce concept pour la construction de courbes de Bézier.

Développement mathématique

Considérons deux points A₁ et A₂ de l'espace, définis par leurs coordonnées cartésiennes respectives (x₁,y₁,z₁) et (x₂,y₂,z₂). On associe le nombre m₁ à A₁ et le nombre m₂ à A₂ ; ces nombres sont appelés masses ou coefficients de pondération et leur total ne peut être nul.

Le barycentre de ce système ((A₁,m₁),(A₂,m₂)) est le point G dont les coordonnées (x_G,y_G,z_B) sont les moyennes pondérées des points du système :

$\left\{\begin{matrix} x_G = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2} \\ y_G = \frac{m_1 y_1 + m_2 y_2}{m_1 + m_2} \\ z_G = \frac{m_1 z_1 + m_2 z_2}{m_1 + m_2} \end{matrix}\right.$

Si m₁ = m₂, alors G est le milieu de [A₁A₂]. Si m₁ > m₂, alors G est plus proche de A₁ que de A₂. De manière globale, on a

$\frac{A_1 G}{A_2 G} = \frac{m_2}{m_1}$

Si l'on a maintenant trois points pondérés (A₁,m₁), (A₂,m₂) et (A₃,m₃), alors on définit de même le barycentre G par les moyennes pondérées des coordonnées

$\left\{\begin{matrix} x_G = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2 + m_3 x_3}{m_1 + m_2 + m_3} \\ y_G = \frac{m_1 y_1 + m_2 y_2 + m_3 y_3}{m_1 + m_2 + m_3} \\ z_G = \frac{m_1 z_1 + m_2 z_2 + m_3 z_3}{m_1 + m_2 + m_3} \end{matrix}\right.$

Considérons G₁ le barycentre du sous-système ((A₁,m₁),(A₂,m₂)). On peut montrer que G est aussi le barycentre du système ((G₁,m₁+m₂),(A₃,m₃)). En clair :

Dans le calcul du barycentre, on peut remplacer deux points par leur barycentre pondéré de la somme des coefficients de pondération des deux points.

On peut ainsi découper le système en sous-systèmes pour simplifier le calcul.

Si l'on a n points A_i associés chacun à un coefficient m_i, alors le barycentre G a pour coordonnées

$\left\{\begin{matrix} x_G = \frac{\sum_{i = 1}^n m_i x_i}{\sum_{i = 1}^n m_i} \\ y_G = \frac{\sum_{i = 1}^n m_i y_i}{\sum_{i = 1}^n m_i} \\ z_G = \frac{\sum_{i = 1}^n m_i z_i}{\sum_{i = 1}^n m_i} \end{matrix}\right.$

On peut montrer que l'on peut remplacer deux points pondérés, par exemple (A₁,m₁) et (A₂,m₂), par leur barycentre pondéré de la somme des pondérations (G₁,m₁+m₂), dans le système, pour obtenir le même barycentre ; on a

$\left\{\begin{matrix} x_G = \frac{(m_1 + m_2)x_{G_1} + \sum_{i = 3}^n m_i x_i}{\sum_{i = 1}^n m_i} \\ y_G = \frac{(m_1 + m_2)y_{G_1} + \sum_{i = 1}^n m_i y_i}{\sum_{i = 1}^n m_i} \\ z_G = \frac{(m_1 + m_2)z_{G_1} + \sum_{i = 1}^n m_i z_i}{\sum_{i = 1}^n m_i} \end{matrix}\right.$

On peut utiliser la notation dite des « coordonnées généralisées » :

x_i est noté x_1i

y_i est noté x_2i

z_i est noté x_3i

Les coordonnées du barycentre G (x_1G,x_2G,x_3G) vérifient donc

$x_{jG} = \frac{\sum_{i = 1}^n m_i x_{ji}}{\sum_{i = 1}^n m_i},\ j \in \{1,2,3\}$ .

Dans tous ces cas, on peut remarquer que le barycentre G est le point G qui annule la fonction vectorielle de Leibniz. C'est-à-dire que

$m_1\vec{GA_1}+ m_2\vec{GA_2}+ ... + m_n\vec{GA_n}=\vec{0}$

On peut définir le barycentre pour un ensemble infini de points. Soit les points sont discrets, on a alors une série ; soit les points forment un ensemble continu, on a alors un fonction de pondération f(x₁,x₂,x₃), continue, les coordonnées du barycentre valent alors

$x_{jG} = \frac{\int\int\int (f(x_1 , x_2 , x_3) \cdot x_{j}) \cdot dx_1 \cdot dx_2 \cdot dx_3}{\int\int\int f(x_1 , x_2 , x_3) \cdot dx_1 \cdot dx_2 \cdot dx_3 },\ j \in \{1,2,3\}$

Si l'on se ramène à une dimension, ou bien si l'on considère chaque coordonnée séparément, on retrouve la formule de la moyenne pondérée :

$x_{G} = \frac{\int (f(x)\cdot x ) \cdot dx_3}{\int f(x) \cdot dx}$

Centre de gravité

En mécanique, le centre de gravité d'un corps correspond au barycentre des particules qui composent le corps en question ; chaque particule étant pondérée par sa masse propre. C'est donc le point par rapport auquel la masse est uniformément répartie. C'est aussi l'unique point d'un corps sur lequel une force ponctuelle peut être appliquée sans générer de mouvement de rotation.

Dans le cas d'un corps continu $\mathcal{C}$ , on emploie comme fonction de pondération la masse volumique du corps. Dans ce cas, la position du centre de gravité G est défini par la relation suivante (O étant un point quelconque de l'espace) :

$\vec{OG}=\frac{\int_{\mathcal{C}} \rho(M)\cdot \vec{OM}\cdot dV}{\int_{\mathcal{C}} \rho(M)\cdot dV}$

Une propriété étonnante du centre de gravité est que son mouvement est parfaitement déterminé par les lois du mouvement, quoi qu'il arrive à ses composants aussi longtemps que ceux-ci ne subissent pas eux-mêmes de force nouvelle. Ainsi par exemple si un obus éclate en vol, le centre de gravité de ses fragments continue à suivre imperturbablement une parabole comme si de rien n'était (aux effets de résistance de l'air près) avant, pendant et après l'explosion.

Catégories: Physique | Mécanique | Géométrie

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