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Espace compact

La compacité est une propriété topologique importante. Les espaces topologiques compacts jouent un rôle privilégié dans divers domaines des mathématiques.

Intuitivement, un espace compact est « petit » au sens où on ne peut « s'en échapper » (une suite de points de cet espace admet toujours une sous-suite qui converge : les points ne peuvent pas beaucoup s'éloigner les uns des autres). Dans un cadre métrique cela se manifeste également par le caractère borné des compacts, mais la définition de la compacité s'applique à des espaces topologiques généraux, pas nécéssairement munis d'une distance.

Sommaire

1 Définitions

1.1 Recouvrements ouverts, compacité
1.2 Parties compactes
1.3 Cas des espaces métriques

2 Diverses propriétés

2.1 Opérations ensemblistes, théorème de Tychonoff
">2.2 Les compacts de $\R$
2.3 Compacité et continuité, théorème de Heine

3 Espaces métriques compacts

3.1 Le théorème de Bolzano-Weierstrass
3.2 Séparabilité, cardinalité

4 Exemples, applications

5 Voir aussi

Définitions

Recouvrements ouverts, compacité

Soit un espace topologique. On appelle recouvrement ouvert de toute famille $\Omega\ =\ (U_i)_{i\in I}$ d'ouverts de X telle que $\bigcup_{i\in I}U_i\ =\ X$ . Il est dit fini si est fini.

On appelle sous-recouvrement de toute famille $(U_i)_{i\in J}$ , avec $J \subset I$ , qui est encore un recouvrement de .

Un espace topologique non vide est dit compact s'il est séparé, et si de tout recouvrement ouvert de on peut extraire un sous-recouvrement fini.

NB: La terminologie anglo-saxonne qualifie parfois de « Haussdorf compact » ce que nous appelons ici « compact » ; être « compact » signifie alors posséder seulement la propriété des sous-recouvrements finis mais pas nécéssairement la séparation.

Parties compactes

Une partie d'un espace topologique est dite compacte si le sous-espace topologique , muni de la topologie induite, est compact.

Une partie d'un espace topologique est dite relativement compacte si son adhérence $\bar{K}$ est une partie compacte de .

Propriété : Toute partie compacte d'un espace topologique séparé est fermée.

NB: Ceci est en général faux si l'espace ambiant n'est pas séparé ; par exemple dans $\R$ munie de la topologie grossière $(\empty,\R)$ , $\left\{ 1 \right\}$ est compact mais pas fermé.

Cas des espaces métriques

Un espace métrique est dit précompact s’il en existe des recouvrements par des boules ouvertes arbitrairement petites, soit :

$\forall \epsilon>0\ \exists (x_i)_{1\leq i \leq n}\ /\ \bigcup_{i=1}^n B(x_i,\epsilon)\ =\ K$

Propriété : Un espace métrique est compact si et seulement s’il est précompact et complet

ATTENTION : Il faut se garder, dans le cas général, de dire que si un espace est compact alors il est complet et précompact ; en effet ces deux dernières notions sont métriques et n'ont donc aucun sens dans le cadre de la topologie générale. La compacité par contre est une notion « purement topologique ».

Propriété : Un espace métrique compact (ou une partie compacte d'un espace métrique) est borné(e).

Diverses propriétés

Opérations ensemblistes, théorème de Tychonoff

Propriété : Soit un espace topologique, et deux parties compactes de . Alors $K_1 \cap K_2$ et $K_1 \cup K_2$ sont compactes.

Propriété : Soit et deux espaces compacts ; le produit $K_1 \times K_2$ , muni de la topologie produit, est encore compact.

Théorème (de Tychonoff) : Un produit quelconque de compacts est compact, i.e. : si $(K_i)_{i\in I}$ est une famille quelconque d'espaces compacts, alors le produit $\prod_{i\in I} K_i$ est encore un espace compact. (Ce théorème nécessite l'axiome du choix pour sa démonstration.)

Les compacts de $\R$

On cherche ici à décrire les parties compactes dans les espaces topologiques familiers $\R^n$ .

Théorème : Les compacts de $\R$ sont les fermés bornés.

Corollaire : Les compacts de $\R^n$ sont les fermés bornés.

Compacité et continuité, théorème de Heine

Propriété : Soit , des espaces topologiques, étant séparé, une partie compacte , et une application continue de vers . Alors est continue.

Moralité : l'image continue d'un compact (dans un séparé) est compacte.

Corollaire : Soit un espace compact, et une application continue de vers $\R$ . Alors est bornée et atteint ses bornes.

Propriété : Soit un espace compact, un espace séparé, et une bijection continue de vers . Alors est un homéomorphisme.

Théorème (de Heine) : Soit un espace compact, un espace métrique, une application continue de vers . Alors est uniformément continue.

Espaces métriques compacts

Dans le cas où on dispose d'une distance sur l'espace, on peut tirer de la compacité de nombreuses informations. On a déjà vu les interactions avec la complétude et la précompacité. On peut également caractériser la compacité à l'aide du théorème fondamental suivant.

Le théorème de Bolzano-Weierstrass

On dira qu'un espace métrique possède la propriété P si pour toute suite de points de E, on peut extraire une sous-suite convergeant vers un point de .

Cette propriété se dit également : toute suite d'éléments de a une valeur d'adhérence dans .

NB: Le fait que la limite soit dans l'espace est fondamental ; par exemple toute suite de points de admet une sous-suite convergente dans $\R$ mais la limite peut être ..

Théorème (de Bolzano-Weierstrass) : Un espace métrique est compact si et seulemet s’il vérifie la propriété P.

De là la forme habituelle du « théorème de Bolzano-Weierstrass » dans $\R$ : toute suite réelle bornée admet une sous-suite convergente.

Séparabilité, cardinalité

Théorème : Un espace métrique compact est séparable.

Corollaire : Un espace métrique compact a au plus la puissance du continu, i.e. il est de cardinal inférieur ou égal à celui de $\R$ .

Exemples, applications

L'ensemble de Cantor est compact.

Théorème de Riesz : La boule unité fermée d'un espace vectoriel normé est compacte si et seulement si est de dimension finie.

Voir aussi

Espace topologique
Espace métrique
Espace complet
Espace localement compact
Analyse réelle,Analyse complexe
Suite (mathématiques)
Le glossaire topologique pour plus de précisions terminologiques, notamment pour les différents niveaux de « séparation » ; on entend ici « de Haussdorf » pour séparé.

Catégories: Analyse | Topologie

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