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Espace complet

En analyse mathématique, un espace métrique M est dit complet si toute suite de Cauchy d'éléments de M a une limite dans M (i.e. elle converge dans M).

Intuitivement, un espace est complet s'il « n'a pas de trou », s'il « n'a aucun point manquant ». Par exemple, les nombres rationnels ne forment pas un espace complet, puisque n'y figure pas. Il est toujours possible de « remplir les trous » amenant ainsi à la complétion d'un espace donné.

Exemples

Soit l'espace des nombres rationnels. Considérons la suite définie par:

x₁ = 1   et   x_n+1 = x_n/2 + 1/x_n.

C'est une suite de Cauchy de nombres rationnels mais elle ne converge vers aucune limite appartenant à . En fait elle converge vers le nombre irrationel .

L'intervalle ouvert ]0,1[ n'est pas complet non plus. La suite (1/2, 1/3, 1/4, 1/5 ...) est une suite de Cauchy mais elle n'a pas de limite dans l'intervalle. Toutefois, l'intervalle réel fermé [0,1] est complet, la suite précédente ayant une limite valant 0 dans cet intervalle.

L'espace des nombres réels et l'espace des nombres complexes sont complets ainsi que l'espace euclidien .

Quelques théorèmes

Tout espace métrique compact est complet. En fait tout espace métrique est compact si et seulement s’il est complet et totalement borné.

Un sous-espace d'un espace complet est complet si et seulement s’il est clos.

Le théorème de Baire montre que tout espace métrique complet est un espace de Baire.