Page d'accueil	encyclopedie-enligne.com en page d'accueil
Liste Articles: [0-A] [A-C] [C-F] [F-J] [J-M] [M-P] [P-S] [S-Z] \| Liste Catégories \| Une page au hasard \| Pages liées

Conique

Les coniques sont une famille de courbes planes résultant de l'intersection d'un plan avec un cône.

Propriétés géométriques des coniques

Quatre coniques ayant même foyer et même directrice

Soient une droite et un point distinct de . On appelle conique de droite directrice et de foyer l'ensemble des points du plan P (défini comme l'unique plan contenant la droite et le point ) vérifiant :

$[1] \qquad \frac{d(M,F)}{d(M,D)} = e \qquad e \in\mathbb{R}^+$

où

mesure la distance du point M au point F

mesure la distance du point M à la droite D

La constante e est appelée excentricité de la conique.

Le nom « conique » vient du fait que ces courbes peuvent s'obtenir en prenant l'intersection d'un cône avec un plan.

Image:coniques cone.png

Mise en équation

Soit H la projection orthogonale du point F sur la droite D. Dans le plan P on défini alors le repère orthogonal (H, D, (HF)).

Soit p la distance de H à F, on associe au point F dans le repère précédent les coordonnées (p,0).

Pour un point M de coordonnées (x,y) on peut exprimer les distances précédentes à l'aide des deux formules suivantes :

$[2] \qquad d(M{x \choose y},F{p \choose 0}) = \sqrt{ (x-p)^2 + (y-0)^2 }$

$[3] \qquad d(M{x \choose y},D_{(x=0)}) = \sqrt{ (x-0)^2 }$

ce qui implique en élevant [1] au carré et en utilisant [2] et [3] :

$[4] \qquad (x-p)^2 + y^2 = e^{2}x^2$

soit après simplification :

$[5] \qquad x^2(1-e^2) + y^2 - 2xp + p^2 = 0$

types de conique

En fonction des valeurs de e on obtient 4 types de courbes :

un cercle
une ellipse
une parabole
une hyperbole

Si est sur ou , on obtient des coniques dégénérées:

et finie un point (le cercle a pour directrice une ligne à l'infini)
un point
une ligne
deux lignes intersectantes

Une autre conique dégénérée est deux lignes parallèles. Les points avec et se distinguent en l'imaginaire; celui-là se compose de deux lignes et , auxquelles le cercle est asymptote, tandis que celui-ci se compose de deux autres lignes imaginaires.

Catégories: Courbe

This site support the Wikimedia Foundation. This Article originally from Wikipedia. All text is available under the terms of the