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Convexe

En mathématiques, un objet est convexe si pour toute paire de points { A , B } de cet objet, le segment [AB] qui les joint est entièrement contenu dans l'objet. Par exemple, un cube plein, un disque ou une boule sont convexes, mais un objet creux ou bosselé ne l'est pas.

Cette notion concrète a été généralisée dans le cadre des espaces vectoriels et a débouché en analyse sur la notion de fonction convexe.

Le terme convexe est également utilisé en optique. Voir à ce sujet l'article sur les lentilles.

Sommaire

1 Ensemble convexe

2 Fonction convexe

2.1 Cas des fonctions continues
2.2 Cas des fonctions dérivables

Ensemble convexe

La convexité peut être définie pour des sous-ensembles de n'importe quel espace vectoriel réel ou complexe. Un tel sous-ensemble C sera convexe si, pour tous x et y dans C et tout réel t de l'intervalle [ 0.1 ], appartient à C.

Les sous-ensembles convexes de $\mathbb{R}$ , l'ensemble des nombres réels, sont simplement les intervalles de $\mathbb{R}$ .

Fonction convexe

En analyse, une fonction f d'un intervalle I vers $\mathbb{R}$ est dite convexe, quand, pour tous x et y de I et tout t compris entre 0 et 1 on a :

$f(t x+(1-t)y) \le t f(x)+(1-t)f(y)$

Cela signifie que le segment [AB] où A a pour coordonnées (x ; f(x)) et B pour coordonnées (y ; f(y)) est situé au-dessus de la courbe représentative de f.

On dit que la fonction f est concave si la fonction -f est convexe.

Une fonction strictement convexe sur l'intervalle I est une fonction pour laquelle, quelles que soient les valeurs distinctes x et y dans I, on a et tout t compris entre 0 et 1 on a :

Cas des fonctions continues

Si de plus f est continue sur I, alors une définition équivalente dit que f est convexe quand pour tous x et y de I on a :

$f\left(\frac{x+y}{2}\right) \le \frac{f(x)+f(y)}{2}$

Une fonction continue f est strictement convexe sur I si et seulement si quelles que soient les valeurs distinctes x et y dans I, on a :

$f\left(\frac{x+y}{2}\right) < \frac{f(x)+f(y)}{2}$

Cas des fonctions dérivables

Si f est dérivable sur l'intervalle I et si sa dérivée f' est croissante sur I alors f est convexe sur I.

Si la croissance de f' est stricte alors f est strictement convexe.

Graphiquement, cela signifie que, pour tout x de l'intervalle I, la tangente au point d'abscisse x est situé sous la courbe représentative de f.

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