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Corps fini

En algèbre, un corps fini est tout simplement un corps dont le cardinal est fini.

Ils sont très utilisés en théorie des nombres, ainsi qu'en théorie de l'information (cryptographie et codes correcteurs, par exemple).

Propriétés

Le fameux théorème de Wedderburn affirme que tous les corps finis sont commutatifs; ce sont donc des objets très agréables.

Un corps fini a une caractéristique strictement positive; et comme il est intègre, cette caractéristique est donc un nombre premier (notons-le ). Il contient donc une copie de $\mathbb Z/p\mathbb Z$ . Et comme c'est un espace vectoriel sur ce corps, de dimension finie, son cardinal est une puissance de : . On peut obtenir le corps fini de cardinal comme corps de rupture d'un polynôme de degré sur $\mathbb Z/p\mathbb Z$

Il n'existe, à isomorphisme près, qu'un seul corps fini de cardinal ; on le note généralement $\mathbb F_q$ . Le plus petit corps fini est $\mathbb F_2$ .

Exemple : $(\mathbb F_2, +, .)$

$(\mathbb F_2, +, .)$ est le plus petit corps fini. Il est composé de deux élements, 0 et 1. Voici la définition des opérations + et . sur ce corps :

+	0	1
0	0	1
1	1	0

.	0	1
0	0	0
1	0	1

Catégories: Théorie des anneaux

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