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Le mot brachistochrone désigne une courbe plane sur laquelle un point matériel pesant placé dans un champ de pesanteur uniforme, glissant sans frottement et sans vitesse initiale, présente un temps de parcours minimal parmi toutes les courbes joignant deux points fixés : on parle de problème de la courbe brachistochrone.
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Le mot brachistochrone vient du grec brakhisto ("le plus court") et s'écrit donc avec un i et non un y, et de chronos ("temps"). Elle fut étudiée et nommée ainsi par Jean Bernoulli.
La résolution du problème de la courbe brachistochrone passionna les mathématiciens. Isaac Newton fut mis au défi de le résoudre en 1696 et y serait parvenu en seulement une journée. En fait, la solution fut découverte en même temps par Leibniz, Newton, L'Hôpital, Jean et Jacques Bernoulli : il s'agit d'un arc de cycloïde commençant avec une tangente verticale.
Les méthodes imaginées pour sa résolution amenèrent à développer la branche des mathématiques qu'on appelle le calcul des variations.
