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Critère de divisibilité

Un critère de divisibilité est une technique ou une astuce de calcul pour déterminer rapidement si un nombre est divisible par un autre. Malgré leur apparence de « recette de cuisine », les critères de divisibilités sont basés sur des démonstrations mathématiques, et il est possible d'en trouver soi-même pour n'importe quel nombre. La notion de congruence est essentielle pour déterminer des critères de divisibilité.

Le symbole $\sum$ utilisé dans l'article est l'opérateur de l'addition, il se nomme sigma.

Cet article considère uniquement les critères de divisibilités des nombres entiers naturels.

Sommaire

1 Exemples de critères de divisibilité

1.1 Exemple général
1.2 par 2
1.3 par 3
1.4 par 4
1.5 par 5
1.6 par 6
1.7 par 7
1.8 par 9
1.9 par 10
1.10 par 11
1.11 par 12
1.12 par 13
1.13 par 17
1.14 par 25

2 Pour un nombre quelconque

3 Bibliographie

Exemples de critères de divisibilité

Exemple général

Pour chercher un critère de divisibilité du nombre p en base 10, il suffit de chercher un multiple de p ayant une différence de 1 avec un multiple de 10.

Quand nous mentionnerons qu'il faut ajouter ou retrancher un chiffre, il s'agit du dernier qui est retranché au reste du nombre, par exemple pour 7485 et la divisibilité par 7, on retranche 2 × 5 à 748 et on recommence avec le résultat ainsi formé.

Exemples :

3 × 3 = 9 = 1 × 10 – 1 donc il faudra ajouter les chiffres pour la divisibilité par 3 et par 9
3 × 7 = 2 × 10 + 1 donc il faudra retrancher les doubles des chiffres pour la divisibilité par 7 (et par 3)
11 = 1 × 10 + 1 donc il faudra retrancher les chiffres pour la divisibilité par 11
13 × 3 = 4 × 10 – 1 donc il faudra ajouter les quadruples des chiffres pour la divisibilité par 13 (et par 3)
17 × 3 = 5 × 10 + 1 donc il faudra retrancher les quintuples des chiffres pour la divisibilité par 17 (et par 3)
29 = 3 × 10 – 1 donc il faudra ajouter les triples des chiffres pour la divisibilité par 29
31 = 3 × 10 + 1 donc il faudra retrancher les triples des chiffres pour la divisibilité par 31
41 = 4 × 10 + 1 donc il faudra retrancher les quadruples des chiffres pour la divisibilité par 41
etc.

par 2

On pose :

$a=\overline{a_n a_{n-1}...a_1 a_0}$

$a=10^n \cdot a_n + 10^{n-1} \cdot a_{n-1} + ... + 10 \cdot a_1 + 1 \cdot a_0=\sum_{i=0}^{n}10^i \cdot a_i$

avec $n \in \mathbb{N}$ et $a_n \in \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$

Si a est multiple de 2, on obtient :

$a \equiv 0 \, [mod \, 2]$

$\sum_{i=0}^{n}10^i \cdot a_i \equiv 0 \, [mod \, 2]$

or $10 \equiv 0 \, [mod \, 2]$ donc :

$a_0 \equiv 0 \, [mod \, 2]$

Donc pour qu'un nombre soit divisible par deux, son dernier chiffre doit être un multiple de 2.

par 3

Exemples

123 est divisible par 3 car 1 + 2 + 3 = 6 et 6 est divisible par 3.
435714 est divisible par 3 car 4 + 3 + 5 + 7 + 1 + 4 = 24 et 24 est divisible par 3.

On peut généraliser en disant que $\forall n \in \mathbb{N}, (9+1)^n = 9 k + 1, k \in \mathbb{N}$

On pose :

$a=\overline{a_n a_{n-1}...a_1 a_0}$

$a=\sum_{i=0}^{n}10^i \cdot a_i$

avec $n \in \mathbb{N}$ et $a_n \in \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$

Si a est multiple de 3, on obtient :

$a \equiv 0 \, [mod \, 3]$

$\sum_{i=0}^{n}10^i \cdot a_i \equiv 0 \, [mod \, 3]$

or $10 \equiv 1 \, [mod \, 3]$ soit :

$\sum_{i=0}^{n} a_i \equiv 0 \, [mod \, 3]$

Donc la somme des chiffres du nombre doit être un multiple de 3 pour que ce nombre soit divisible par 3.

par 4

Un nombre est divisible par 4 si le nombre formé par les chiffres des dizaines et des unités est divisible par 4.

Démonstration

$N = a_n.10^n + a_{n-1}.10^{n-1} + ... + a_2.10^2 + a_1.10^1 + a_0.10^0\,$ , exprimé autrement :

$a=\sum_{i=0}^{n}10^i \cdot a_i$

$10 \equiv 2 \pmod{4} \Longleftrightarrow 10^2 \equiv 0 \pmod{4}$

donc $N \equiv a_1 + a_0 \pmod{4}$

Exemples

716 est divisible par 4 car 16 l'est.
1196 est divisible par 4 car 96 l'est.

par 5

Un nombre est divisible par 5 si le chiffre des unités est 0 ou 5.

Démonstration

$N = a_n.10^n + a_{n-1}.10^{n-1} + ... + a_2.10^2 + a_1.10^1 + a_0.10^0\,$ , exprimé autrement :

$a=\sum_{i=0}^{n}10^i \cdot a_i$

$10 \equiv 0 \pmod{5}$ , donc

$N \equiv a_0 \pmod{5}$

par 6

Un nombre est divisible par 6 s'il est divisible par 2 ET par 3.

Exemple

258 est divisible par 6 car il est pair ET 2 + 5 + 8 = 15 est divisible par 3.

par 7

Un nombre est divisible par 7 si le résultat de la soustraction du nombre de dizaines par le double du chiffre des unités est divisible par 7.

Exemple

91 est divisible par 7 car 9 – 2 x 1 = 7 et 7 est divisible par 7.
182 est divisible par 7 car 18 – 2 x 2 = 14 et 14 est divisible par 7.

D'une manière plus générale il suffit de répéter l'opération ci-dessus et de vérifier que le reste est un multiple de 7 connu.

7416 : 741 – 2 × 6 = 729, 72 – 2 × 9 = 54 or 54 n'est pas un multiple de 7 donc 7416 n'est pas un multiple de 7.

Démonstration

Si $7 \mid 10 a + b$ , (a représente donc le nombre de dizaines, b le chiffre des unités),

alors comme $7 \mid 21 b$ , on a $7 \mid 10 a - 20 b = 10 (a-2 b)$ et le théorème de Gauss nous donne, 7 étant premier avec 10, que a – 2b est divisible par 7. Si a – 2b est divisible par 7, 10a – 20b aussi, et donc 10 a + b également.

par 9

Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9.

Exemple

423 est divisible par 9 car 4 + 2 + 3 = 9 et 9 est divisible par 9.

Démonstration

$N = a_n.10^n + a_{n-1}.10^{n-1} + ... + a_2.10^2 + a_1.10^1 + a_0.10^0\,$ , exprimé autrement :

$a=\sum_{i=0}^{n}10^i \cdot a_i$

$10 \equiv 1 \pmod{9}$

donc $N \equiv a_n + a_(n-1) + a_(n-2) + ... + a_0 \pmod{9}$

par 10

Un nombre est divisible par 10 si le chiffre des unités est 0.

Démonstration

$N = a_n.10^n + a_{n-1}.10^{n-1} + ... + a_2.10^2 + a_1.10^1 + a_0.10^0\,$ , exprimé autrement :

$a=\sum_{i=0}^{n}10^i \cdot a_i$

$10 \equiv 0 \pmod{10}$

donc $N \equiv a_0 \pmod{10}$

par 11

Pour déterminer si un nombre N est divisible par 11 :

calculer la somme A des chiffres en position impaire ;
calculer la somme B des chiffres en position paire ;

N est divisible par 11 si et seulement si la différence A – B (ou B – A) est divisible par 11.

Exemple

pour 19382 on a A = 1 + 3 + 2 = 6, B = 9 + 8 = 17, A – B = 6 – 17 = –11 qui est divisible par 11, donc 19382 est divisible par 11.

par 12

Un nombre est divisible par 12 s'il est divisible par 3 et par 4.

par 13

Un nombre est divisible par 13 si son nombre de dizaines plus 4 fois son chiffre des unités est divisible par 13.

Exemples

637 est divisible par 13 car 63 + 4 x 7 = 91 et 91 est divisible par 13 (9 + 4 x 1 = 13)

D'une manière plus générale il suffit de répéter l'opération ci-dessus et de vérifier que le reste est un multiple de 13 connu.

Exemple

7416 : 741 + 4 × 6 = 765, 76 + 4 × 5 = 96 or 96 n'est pas un multiple de 13 donc 7416 n'est pas un multiple de 13.

par 17

Un nombre est divisible par 17 si son nombre de dizaines moins cinq fois son chiffre des unités est divisible par 17.

Exemples

221 est divisible par 17 car 22 – 5 × 1 = 17 et 17 est divisible par 17 (17 × 1 = 17)

D'une manière plus générale il suffit de répéter l'opération ci-dessus et de vérifier que le reste est un multiple de 17 connu.

Exemple

7416 : 741 – 5 × 6 = 711, 71 – 5 × 1 = 66 or 66 n'est pas un multiple de 17 donc 7416 n'est pas un multiple de 17.

par 25

Un nombre est divisible par 25 si son écriture « se termine » par 00, 25, 50 ou 75.

Démonstration

$N = a_n.10^n + a_{n-1}.10^{n-1} + ... + a_2.10^2 + a_1.10^1 + a_0.10^0\,$ , exprimé autrement :

$a=\sum_{i=0}^{n}10^i \cdot a_i$

$10 \equiv 10 \pmod{25} \Longleftrightarrow 10^2 \equiv 0 \pmod{25}$

donc $N \equiv 10 a_1 + a_0 \pmod{25}$

Pour un nombre quelconque

Le tout est de tirer profit de la décomposition du nombre en somme des produits par 10. Si à partir d'un certain rang , est divisible par le diviseur , le suivant le sera aussi, car $10^{n+1} \equiv 0 \, [mod \, 10^n]$ et donc seuls les chiffres d'un rang strictement inférieur à auront une influence sur la divisibilité de ce nombre par .
On peut aussi essayer de trouver un motif, par exemple, lorsque l'on retrouve deux fois le même nombre comme congruence, on peut en extrapoler la suite, étant donné que l'on l'a déjà calculée.

Mais il est aussi possible que ce critère ne soit pas simple du tout voire absolument pas pratique ou impossible à retenir. Par exemple pour la divisibilité par 7, on pose:

$a=\overline{a_n a_{n-1}...a_1 a_0}$

$a=\sum_{i=0}^{n}10^i \cdot a_i$

avec $n \in \mathbb{N}$ et $a_n \in \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$

Si a est multiple de 7 on a :

$a \equiv 0 \, [mod \, 7]$