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Cet article expose en détail la théorie de la gamme pythagoricienne - construite sur le cycle des
quintes. Pour une présentation simplifiée et de synthèse, voir l'article Gammes et tempéraments qui donne aussi une vue d'ensemble des gammes de la musique occidentale classique.
| Sommaire |
Gamme pythagoricienne est la dénomination donnée aujourd'hui à toute gamme (ou échelle) musicale fondée uniquement sur des intervalles d'octaves et de quintes (sauf une) acoustiquement justes (ou purs) - les quartes, renversement des quintes, le sont alors aussi. Une propriété importante - et même fondatrice - d'une telle gamme est que douze quintes équivalent « presque » à sept octaves : on va considérer que ces intervalles sont équivalents. Toutefois il y a un écart résiduel que l'on appelle « comma pythagoricien ».
Historiquement, les premières traces d'une construction musicale en octaves et quintes justes remontent à l'antiquité chinoise. L'attribution en Occident de ce type de construction à Pythagore semble remonter au Moyen Âge alors qu'il ne semble pas avoir contribué directement à l'établissement d'une telle échelle. Il ne fait que fonder une pensée, qui tente d'englober tous les phéonomènes de l'univers, basée sur les quatre premiers nombres : 1, 2, 3 et 4. En effet, ces quatre nombres simples forment les rapports des intervalles d'octave (2/1), de quinte (3/2) et de quarte (4/3).
Mais la théorisation de la gamme heptatonique par l'école des pythagoriciens est antérieure de deux siècles aux contacts, d'ailleurs très indirects, entre les mondes méditerranéen et chinois qui ont pu suivre les conquêtes d'Alexandre le Grand. Ainsi, il est presque certain qu'elle s'est faite sans référence au précédent chinois, qui a d'ailleurs donné naissance à une musique pentatonique très différente.
Une propriété de la « gamme pythagoricienne » est l'intervalle de « diton » (deux tons « justes » successifs : 9/8x9/8) inférieur à une quarte. Le diton forme l'intervalle appelé « tierce pythagoricienne ». Il diffère d'une quarte de l'intervalle de « limma » (litt. « le reste »). C'est chez Platon (La République) que nous retrouvons les termes du rapport du « limma » (256/243); aucun texte de Pythagore ne nous est parvenu.
A travers la période troublée des invasions barbares, la continuité de la tradition musicale grecque antique a été assurée en Europe, entre autres, par les chants de la liturgie chrétienne - le chant grégorien prenant sa source dès le VIIe siècle sous l'impulsion du pape Grégoire le Grand.
Parallèlement au développement de cette échelle dans la culture occidentale, nous la trouvons aussi dans les écrits arabes, notamment chez Ikhwān al-Ṣafā (« les frères de la pureté ») et al-Kindī.
La gamme pythagoricienne a été progressivement délaissée au bas Moyen-Âge lorsqu'on a commencé à considérer comme consonnant l'intervalle de tierce.
L'approche de la construction de la gamme pythagoricienne peut se faire sur des considération d'acoustique ou de mathématiques.
L'oreille permet, de façon intuitive et très précise (par l'absence de battements), d'identifier un intervalle d'octave ou de quinte.
Partant d'une note quelconque et suffisamment basse, on détermine sa quinte puis la quinte de la note obtenue, de façon réitérée. Si on répète ce processus 12 fois, on s'aperçoit que la note finale est « pour ainsi dire » la septième octave de la note de départ. C'est ce que l'on appelle le « cycle des quintes » c'est-à-dire que 12 quintes équivalent à peu près à 7 octaves. En fait il y a un faible écart entre ces deux intervalles, qu'on appelle le « comma pythagoricien » (voir schéma).
Ces constatations sont à la base de la gamme « pythagoricienne ». On peut recommencer le processus, en abaissant les notes successives obtenues d'une octave lorsque l'intervalle de quinte nous fait sortir de la première octave : lorsqu'on aura monté 12 intervalles de quintes, on aura dû abaisser 7 fois d'une octave pour retrouver, au comma pythagoricien près, la note initiale. On aura, ce faisant, remarqué que les notes successives obtenues se répartissent à peu près uniformément dans l'intervalle d'une octave. Nous aurons ainsi construit la « gamme pythagoricienne » à 12 intervalles, donc douze notes, compris dans l'octave. La conservation d'une octave pure est considérée par tous les musiciens comme incontournable : La dernière quinte de notre cycle (ou une autre quelconque) devra donc être conservée légèrement différente des autres, et sera relativement fausse : on l'appelle la « quinte du loup » ; elle donnera lieu aux différents « tempéraments » qui ont pour but d'en atténuer au maximum les inconvénients.
Il est très simple de traduire mathématiquement les constatations auditives ci-dessus. Monter un intervalle de 12 quintes revient à multiplier la fréquence initiale par (3/2) 12 ; baisser le résultat obtenu de 7 octaves revient à en diviser la fréquence par 2 7 . Au total, nous aurons donc multiplié la fréquence initiale pas 3 12 /2 19 .
3 12 = 531.441 et 2 19 = 524.288
Ces deux valeurs sont proches l'une de l'autre (mais non égales) le comma pythagoricien est égal à 531.441/524.288 soit 1,013643... c'est une très faible valeur par rapport à l'intervalle d'octave qui vaut 2.
Calculons des intervalles successifs numérotés I1 à I12 par la méthode ci-dessus.
I 1 = 3/2 = 1,5
I 2 = 3 2 /2 2 = 9/4 mais 9/4 est supérieur à 2, donc nous abaissons d'une octave en divisant
par 2 et remplaçons par 3 2 /2 3 = 9/8 = 1,125
puis, suivant la même règle :
I3 = 33 /24 = 27/16 = 1,6875
I4 = 34 /26 = 81/64 = 1,265625
I5 = 35/27 = 243/128 = 1,898437...
I6 = 36/29 = 729/512 = 1,423828...
I7 = 37/211 = 2187/2048 = 1,067871...
I8 = 38/212 = 6561/4096 = 1,601806...
I9 = 39/214 = 19683/16384 = 1,201354...
I10 = 310/215 = 59049/32768 = 1,802032...
I11 = 311/217 = 177147/131072 = 1,351524...
enfin,
I 12 = 3 12 /2 19 = 531441/524288 = 1,013643... qui est proche de 1.
Nous allons maintenant considérer les intervalles de 1 à 2 c'est-à-dire I0=1, I1 à I11 et I12=2 Nous les trions par ordre croissant des valeurs, toutes comprises entre 1 et 2 et nous obtenons la liste suivante :
I0 = 1 = 30/20 (note fondamentale)
I7 = 1,067871? = 3 7/2 11 = 2187/2048
I2 = 1,125 = 3 2/2 3 = 9/8 (ton majeur)
I9 = 1,201354? = 39/214 = 19683/16384
I4 = 1,265625 = 34/26 = 81/64
I11 = 1,351524? = 311/217 = 177147/131072
I6 = 1,423828? = 36/29 = 729/512
I1 = 1,5 = 31/21 (quinte)
I8 = 1,601806? = 38/212 = 6561/4096
I3 = 1,6875 = 33/24 = 27/16
I10 = 1,802032? = 310/215 = 59049/32768
I5 = 1,898437? = 35/27 = 243/128
I12 = 2 # 312 /218 = 531441/262144 (octave)
Ces intervalles sont calculés à partir de la note de départ. Si l'on veut calculer les intervalles entre deux notes successives ainsi définies, on doit effectuer la différence entre les deux intervalles qui séparent celles-ci de la note de départ, donc effectuer le rapport des valeurs correspondantes :
I7 / I0 = (37/211) / (30/20) =
37/211
I2 / I7 = (32/23) / (37/211) =
28/35
I9 / I2 = (39/214) / (32/23) =
37/211
I4 / I9 = (34/26) / (39/214) =
28/35
I11 / I4 = (311/217) / (34/26) =
37/211
I6 / I11 = (36/29) / (311/217) =
28/35
I1 / I6 = (3/2) / (36/29) = 37/211
I8 / I1 = (38/212) / (3/2) = 37/211
I3 / I8 = (33/24) / (38/212) =
28/35
I10 / I3 = (310/215)/( 33/24) =
37/211
I5 / I10 = (35/27)/( 310/2 15 ) = 28
/35
I12 / I5 = (312 /218)/ (35/2 7 ) = 37
/211
On constate - et ce fait est remarquable - que nous n'obtenons que deux valeurs distinctes, soit 3 7 /2 11 = 2187/2048 = 1,067871 (c'est l'« apotome » ) et 2 8 /3 5 = 256/243 = 1,053498 (c'est le « limma »).
L'intervalle I2 étant le ton majeur, celui-ci égale un apotome + un limma : les « demi-tons » dans la gamme pythagoricienne ne sont pas de même valeur ?
On a remarqué que l'intervalle de quarte (4/3 ou 1,333333) n'apparaissait pas dans la liste ci-dessus. Or cet intervalle est important puisque directement déduit de la quinte, il sert aussi à définir le ton majeur. On remplace donc, l'intervalle I11 (1,351524) par l'intervalle de quarte qui en est très proche, et notre gamme pythagoricienne devient
I0 = 1 = 30/20 (note fondamentale)
I7 = 1,067871? = 37/211 = 2187/2048
I2 = 1,125 = 32/23 = 9/8 (ton majeur)
I9 = 1,201354? = 39/214 = 19683/16384
I4 = 1,265625 = 34/26 = 81/64
I11 = 1,333333? = 22/31 = 4/3 (quarte)
I6 = 1,423828? = 36/29 = 729/512
I1 = 1,5 = 3/2 (quinte)
I8 = 1,601806? = 38/212 = 6561/4096
I3 = 1,6875 = 33/24 = 27/16
I10 = 1,802032? = 310/215 = 59049/32768
I5 = 1,898437? = 35/27 = 243/128
I12 = 2 (octave)
Ce qui change évidemment les rapports comportant cet intervalle :
I11 / I4 = (22/31) / (34/26) =
28/35
I6 / I11 = (36/29) / (22/31) =
37/211
au lieu de I11 / I4 = (311/217) / (34/26) =
37/211
I6 / I11 = (36/29) / (311/217) =
28/35
Nous retrouvons l'apotome et le limma, mais dans un ordre inverse.
Il ne reste plus qu'à nommer les notes, soit 7 noms simples pour les fractions les plus simples (celles dont le numérateur et le
dénominateur sont les plus petits) et 5 noms « altérés » pour les fractions les plus complexes (qui sont les dernières
obtenues dans notre cycle des quintes)
I0 = 1 = 30/20/ (note fondamentale) DO
I7 = 1,067871? = 37/211 = 2187/2048 DO#
I2 = 1,125 = 32/23 = 9/8 (ton majeur) RE
I9 = 1,201354? = 39/214 = 19683/16384 RE#
I4 = 1,265625 = 34/26 = 81/64 MI
I11 = 1,333333? = 22/31 = 4/3 (quarte) FA
I6 = 1,423828? = 36/29 = 729/512 FA#
I1 = 1,5 = 3/2 (quinte) SOL
I8 = 1,601806? = 38/212 = 6561/4096 SOL#
I3 = 1,6875 = 33/24 = 27/16 LA
I10 = 1,802032? = 310/215 = 59049/32768 LA#
I5 = 1,898437? = 35/27 = 243/128 SI
I12 = 2 (octave) DO
Le procédé ci-dessus est théorique. Dans la pratique - si tant est qu'on accorde encore des instruments à sons fixes selon la gamme de Pythagore - on s'arrange pour placer la « quinte du loup » sur un intervalle inusité ou elle ne risque pas de se manifester - en général : SOL#-MIb. À noter que les intervalles « enjambant » la quinte du loup sont eux-mêmes faux et à éviter.
Le bémol
On a remarqué que la gamme qui vient d'être construite ne comporte que des notes diésées.
De DO à DO# : 1 apotome (1/2 ton chromatique)
De DO# à RÉ : 1 limma (1/2 ton diatonique)
De DO à RÉ : 1 ton majeur
On peut définir, en inversant l'ordre de l'apotome et du limma dans le ton majeur DO-RÉ, une nouvelle note intermédiaire, RÉb
telle que
De DO à RÉb : 1 limma (1/2 ton diatonique)
De RÉb à RÉ : 1 apotome (1/2 ton chromatique)
De DO à RÉ : 1 ton majeur
On définirait de la même façon les autres notes bémolisées : MIb, SOLb, LAb et Sib.
L'alchimie des chiffres dans la gamme pythagoricienne
Notons O l'octave, Q la quinte, q la quarte, T la tierce majeure, t le ton majeur, α l'apotome, λ le limma et κ le comma.
Calculons la différence entre l'apotome et le limma :
α - λ = (37/211) / (28/35) = 312/219 = κ : c'est
précisément le comma pythagoricien.
t = α + λ, en effet (37/211) x (28/35) = 32/23 = 9/8
T = 2α + 2λ, en effet (37/211)2 x (28/35)2 =
34/26= 81/64
On retrouve T = 2 x t
q = 2α + 3λ, en effet (37/211)2 x (28/35)3 =
(314/222) x (224/315) = 22/3 = 4/3
On retrouve : q = T + λ
Q = 3α + 4λ, en effet (37/211)3 x (28/35)4 =
(321/233) x (232/320) = 3/2
O = 5α + 7λ, en effet (37/211)5 x (28/35)7 =
(335/255) x (256/335) = 2
12Q - 7O = 12(3α + 4λ) - 7 (5α + 7λ) = 36α + 48λ - 35α - 49λ = α - λ = κ
On retrouve le comma pythagoricien, que l'on doit déduire de douze quintes pour obtenir sept octaves : une des quintes sera la « quinte » du loup, plus courte que les autres quintes d'un comma pythagoricien, afin de conserver les octaves pures.
On conçoit sans peine que les mathématiciens de l'Antiquité, au vu de ces relations quelque peu magiques, prêtassent à la musique une origine divine. Plus près de nous, Rameau avait même dans l'idée que la musique était la base des mathématiques.
Pour ceux que rebuteraient (on les comprend) les calculs de puissances de 2 et 3, le schéma ci-dessous résume les relations
entre les différents intervalles de la gamme de Pythagore :
De façon approchée le limma vaut 4 commas, et l'apotome en vaut 5, c'est pourquoi on considère souvent que l'octave vaut 53 commas : cette égalité n'est toutefois qu'une approximation (car élever le nombre 312/219 à la puissance 53 ne peut évidemment donner 2 pour résultat exact).
Cette approximation est à la base de l'affirmation générale selon laquelle :
On aura compris qu'implicitement, le comma dont il est question est le comma pythagoricien et qu'il ne s'agit pas de valeurs exactes.
