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Fonction δ de Dirac

La fonction δ de Dirac, introduite par Paul Dirac, peut être informellement considérée comme une fonction δ qui prend une « valeur » infinie en 0, et la valeur zéro partout ailleurs, et dont l'intégrale sur ℝ est égale à 1. La représentation graphique de la fonction δ peut être assimilée à l'axe des abscisses en entier et le demi axe des ordonnées positives. D'autre part, δ pourrait correspondre à la « dérivée » de la fonction d'étape de Heaviside.
Mais cette fonction de Dirac n'est pas une fonction, elle étend la notion de fonction.

La fonction de δ de Dirac est très utile comme approximation de fonctions dont la représentation graphique a la forme d'une grande pointe étroite. C'est le même type d'abstraction qui représente une charge ponctuelle, une masse ponctuelle ou un électron ponctuel. Par exemple, pour calculer la vitesse d'une balle de tennis, frappée par une raquette, nous pouvons assimiler la force de la raquette frappant la balle à une fonction δ. De cette manière, nous simplifions non seulement les équations, mais nous pouvons également calculer le mouvement de la balle en considérant seulement toute l'impulsion de la raquette contre la balle, plutôt que d'exiger la connaissance des détails de la façon dont la raquette a transféré l'énergie à la balle.

Introduction formelle

La fonction δ de Dirac est souvent présentée avec la propriété :

pour toute fonction continue f, $\int_{-\infty}^\infty f(x) \, \delta(x) \, dx = f(0)$

Cependant, il n'existe aucune fonction δ vérifiant cette propriété.
Techniquement parlant, la fonction δ de Dirac n'est pas une fonction mais une distribution; un objet mathématique qui s'intègre sur toutes les fonctions à support compact de classe $C^{\infty}$ , appelées fonctions test. En tant que distribution, la fonction δ de Dirac est définie par :

pour tout fonction test φ, $\langle\delta,\phi\rangle = \phi(0)$

Il s'agit d'une distribution à support compact (le support étant {0}).
Il est également commode de penser à δ en tant qu'opérateur fonctionnel, défini par :

et qui retourne pour chaque fonction test f la valeur de f en 0.
La distribution δ de Dirac est la dérivée de la fonction d'étape de Heaviside H, définie par :

pour tout réel x, $H(x) = \left\{ \begin{matrix} 0 \rm{\,si\,} x < 0 \\ \frac{1}{2} \rm{\,si\,} x = 0 \\ 1 \rm{\,si\,} x > 0 \end{matrix} \right.$

en définissant la notion de « dérivée » dans le sens de la théorie des distributions. (En utilisant la définition ordinaire de la dérivée, H n'est pas différentiable en x = 0.)

Transformée de Fourier

La transformée de Fourier de la fonction δ de Dirac est la fonction constante 1, et la convolution de δ avec n'importe quelle distribution S redonne S.
Le dérivé de la fonction δ de Dirac est la distribution δ' définie par :

pour toute fonction de test φ, $\langle\delta', \phi\rangle = -\phi'(0)$

La dérivée nième de δ, δ ⁽ⁿ⁾ est donnée par :

$\langle\delta^{(n)}, \phi\rangle = (-1)^n \phi^{(n)}(0)$

Les dérivées de δ de Dirac sont importantes parce qu'elles apparaissent dans la transformation de Fourier des polynômes.
Une identité utile est

$\delta(g(x)) = \sum_{i}\frac{\delta(x-x_i)}{|(g'(x_i)|}$

où les sont les racines du polynôme g(x). Elle est équivalente à la forme intégrale :

$\int_{-\infty}^\infty f(x) \, \delta(g(x)) \, dx = \sum_{i}(\frac{f(x_i)}{|(g'(x_i)|})$

Représentations de la fonction δ

La fonction δ peut être regardée comme limite d'une suite (δ_a) de fonctions

$\delta (x) = \lim_{a\to 0} \delta_a(x),$

Certains appellent de telles fonctions δ_a des fonctions « naissantes » de δ.

Celles-ci peuvent être utiles dans des applications spécifiques.
Mais si la limite est employée de manière trop imprécise, des non-sens peuvent en résulter, comme d’ailleurs dans n'importe quelle branche de l’analyse en mathématique.

La notion d’approximation de l’unité, a une signification particulière en analyse harmonique, en rapport avec la limite d’une suite qui converge vers un élément neutre pour l'opération de convolution (sur des groupes comme par exemple le groupe unité). Ici l’hypothèse et faite que la limite est celle d’une suite de fonctions positives.

Quelques fonctions de limite δ sont :

$\delta_a(x) = \frac{1}{\pi} {a \over a^2 + x^2}$