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Dérivation (mathématiques élémentaires)

La dérivation d'une fonction donne la variation de cette fonction en chacun de ses points. On la note généralement à l'aide d'une apostrophe acoler au nom de la fonction dont on prend la dérivée.

Utilité de la notion

On considère une fonction f définie sur un intervalle I de courbe représentative Cf.

Il est utile de savoir sur quels intervalles une fonction est croissante ou décroissante. C'est le problème qu'on se pose ici.
Mais ce qui est simple à faire en pratique, c'est de déterminer le signe d'une expression algébrique.

La dérivation est justement le procédé qui permet d'utiliser la technique simple (déterminer le signe d'une expression) pour résoudre le problème complexe (savoir les intervalles de croissance ou de décroissance de f).
En effet, la dérivation d'une fonction f donne sa fonction dérivée —notée f'— : il suffira alors de déterminer le signe de f' pour savoir quand f croit ou décroit.

En termes parlants, la dérivée correspond à la "vitesse" de variation d'une grandeur et par extension d'une fonction. La dérivée seconde correspond à l'"accélération"!

Nombre dérivé

Dériver cette fonction en un reél a de I consiste à calculer le taux de variation (ou pente) de la tangente à Cf au point d'abscisse a, si cette tangente existe et n'est pas verticale.

Le nombre obtenu est le nombre dérivé de f en a.
Sa valeur est la limite quand h tend vers 0 du quotient [f(a+h) - f(a)] / h

Fonction dérivée

La fonction qui à chaque réel de I associe le nombré dérivé de f en ce réel, est notée f' et est appelée fonction dérivée de f.
Par exemple, la fonction dérivée de f: x->x² est f': x->2x.

Dérivations de fonctions usuelles

1. Si f(x) = k (fonction constante) alors f'(x)=0
2. Si f(x) = ax + b alors f'(x)=a
3. Si f(x) = x^a alors f'(x) = ax^a-1 (pour tout a réel non nul)

Pour une table plus complète voir Dérivées usuelles.

Exemples :

1. f(x)=5  ; f'(x)=0
2. f(x)=3x+2 ; f'(x)=3
3. f(x)=x³  ; f'(x)=3(x²)

Lien avec le sens de variation

Si f'(x) est positive sur un intervalle I, alors f est croissante sur I.
Si f'(x) est négative sur un intervalle I, alors f est décroissante sur I.

Compléments

• Dérivées usuelles
• Opérations sur les dérivées