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Différentielle

Définition

Soient et deux espaces de Hilbert,

Soit J\ :\ E\rightarrow F

Soit u\in E

On dit que est différentiable en si et seulement si il existe une application linéaire de dans telle que :

\forall h \in E\quad J(u+h)=J(u)+L(h)+o\left(\|h\|\right)

Dans ce cas, est la différentielle de en et on note :

ou encore :

Cas où F=R

Dans ce cas, est une forme linéaire sur E. En vertu du théorème de Riesz, il existe un unique vecteur de E tel que :

\forall h \in E\quad <v,h>=D_u(J)(h)

On note plus simplement :

Cas où E est de dimension finie : lien avec les dérivées partielles

Dans ce cas,

\forall i \in [1,n]\quad J\left(\left(u_1,u_2,...,u_i,...\right)+\left(0,0,...,h_i,...\right)\right)=J(u)+\frac{\partial J}{\partial x_i}(h_i)+(\|h\|)

En combinant toutes ces équations pour i \in [1,n], on obtient :

J(u+h)=J(u)+\sum_{i=1}^n\frac{\partial J}{\partial x_i}(h_i)+(\|h\|)



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