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Dimension

Dans le sens commun, le notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une pièce de révolution.

En physique et en mathématiques, la notion de dimension est bien particulière. Ces notions ont été détournées dans le domaine de la science-fiction.

Sommaire

1 Physique

1.1 Dimension d'un espace vectoriel
1.2 Dimension d'une grandeur

2 Mathématiques

2.1 Dimension d'un espace vectoriel
2.2 Dimension fractale
2.3 Dimension topologique
2.4 Dimension de Hausdorff - Besicovitch
2.5 Dimension de Minkowski - Bouligand

3 Dans les œuvres de science-fiction

Physique

En physique, le terme dimension regroupe deux concepts complètement différents.

Dimension d'un espace vectoriel

La physique utilise beaucoup la notion mathématique d'espace vectoriel. On peut vulgariser cette notion en disant que

la dimension d'un espace est le nombre de variables qui servent à définir un état, un événement.

Ainsi par exemple, on dit classiquement que notre univers est à quatre dimensions, puisqu'un événement se définit par la position dans l'espace (x, y, z) et l'instant t auquel cet événement survient.

Un objet volumique constant (c'est-à-dire dont les propriétés sont indépendantes du temps, du moins durant l'étude) est dit à trois dimensions, car il faut trois nombres (x, y, z) pour désigner un de ses points au sein de l'objet ;
un objet plan (comme une feuille de papier) dont on néglige l'épaisseur est dit à deux dimension, car il faut deux nombres (x, y) pour désigner un de ses points au sein de l'objet ;
un objet linéaire (comme un fil) dont on néglige l'épaisseur est dit à une dimension, car il suffit d'un seul nombre x pour désigner un de ses points au sein de l'objet (abscisse curviligne) ;
un objet ponctuel (comme un point) dont on néglige la taille est dit de dimension zéro, car une fois que l'on a désigné le point, on n'a besoin d'aucun paramètre pour trouver le point...

Ces concepts sont repris en modélisation informatique (objet 2D, 3D).

Cette notion est la traduction de la notion mathématique de dimension (voir plus bas).

Dimension d'une grandeur

La dimension d'une grandeur physique est son unité exprimée par rapport aux sept unités de base du système international. On retraduit les unités en grandeurs.

Par exemple, la vitesse a la dimension d'une longueur divisée par un temps (c'est-à-dire que l'unité de vitesse est le mètre par seconde).

Voir l'article détaillé Équation aux dimensions.

Mathématiques

Dimension d'un espace vectoriel

En mathématiques, la notion de dimension correspond à la dimension de l'espace vectoriel de la physique :

si un espace vectoriel est muni d'une base de cardinal fini d, alors toutes les bases ce cet espace ont pour cardinal d, et la dimension de cet espace est d.

(Rappelons qu'une base est une famille libre et génératrice de l'espace vectoriel, c'est-à-dire que tout vecteur peut se décomposer en une unique combinaison linéaire des vecteurs de cette famille.)

Lorsqu'un espace vectoriel n'admet aucune base de cardinal fini, on dit qu'il est de dimension infinie. Exemple : l'ensemble des suites réelles est un espace vectoriel de dimension infinie. Dans un tel espace il existe des familles libres finies arbitrairement grandes, mais aucune famille génératrice finie.

Dimension fractale

Mais la définition de la dimension donnée ci-dessus est insuffisante, notamment dans le cas des fractales.

De manière simplifiée, un objet fractal est un objet ayant une homothétie interne, c'est-à-dire qu'une portion de l'objet est identique à l'objet complet. Considérons un exemple simple, la courbe de von Koch : cette courbe est construite de manière récursive, on part d'un segment de droite, et on remplace chaque segment par un segment avec un chevron au milieu.

On répète cette opération à l'infini. Cette courbe est une ligne (donc de dimension 1), qui est contenue dans une aire limitée, mais pourtant, sa longueur est infinie, puisqu'à chaque étape on multiplie sa longueur par 4/3. On peut dire en fait que si cette longueur est infinie, c'est qu'on « l'évalue dans la « mauvaise » dimension ».

Considérons la notion d'étalon en physique :

l'étalon de longueur est une règle de longueur fixe (dimension 1) ;
l'étalon de surface est un carreau (carré) de côté fixe (dimension 2) ;;
l'étalon de volume est un pavé (cube) d'arrête fixe (dimension 3).

On ne peut évaluer la longueur que d'un objet de dimension 1 : même en prenant une règle minuscule, un point ne pourra jamais la contenir, et à l'inverse sur une surface, on peut mettre un nombre infini de règles (celles-ci ont une épaisseur nulle). On ne peut évaluer l'aire que d'un objet de dimension 2 : un point ou une courbe ne pourra jamais être pavé par des carreaux (même très petits), et dans un volume, on peut mettre un nombre infini de carreaux (ceux-ci ont une épaisseur nulle). On ne peut évaluer le volume que d'un objet à trois dimension : un pavé ne rentrera jamais « dans » un point, une ligne ou une surface.

Ainsi, si l'on appelle d_o la dimension de l'objet et d_e celle de l'étalon, on a :

si d_e > d_o, la mesure donne 0 ;
si d_e < d_o, la mesure donne ∞ ;

On peut ainsi dire que si la courbe de von Koch est formée d'une ligne (dimension 1), sa dimension fractale est supérieure puisque l'on obtient ∞.

Considérons maintenant la dimension caractéristique l de l'étalon :

une règle de longueur l représente l¹ mètres ;
un carreau de côté l représente l ² mètres-carrés ;
un pavé d'arrête l représente l ³ mètres-cubes.

De manière générale, l'étalon de dimension d_e représente l^de.

Prenons l'exemple d'une courbe lisse ; lorsque l'on pose des règles dessus, on n'obtient qu'une approximation de sa longueur (on approche la courbe par une ligne brisée). Si l'on fait tenir N_l règles de longueur l, la mesure sera

M(l) = N_l×l ¹

La longueur exacte de la courbe est la limite de M(l) lorsque l tend vers 0. De même si l'on couvre une surface au contour lisse, on a

M(l) = N_l×l ²

et la surface exacte de la courbe sera la limite de M(l) lorsque l tend vers 0. Si l'on pave un volume au contour lisse, on a

M(l) = N_l×l ³

et le volume exacte de la courbe sera la limite de M(l) lorsque l tend vers 0.

Si maintenant on se « trompe » de dimension, la limite ne converge pas vers un nombre fini non nul :

$\lim_{l \rightarrow 0} N_l \times l^{d_e} = 0 \mathrm{\ ou\ } \infty \mathrm{\ si\ } d_e \neq d_o$

On peut ainsi dire que pour la courbe de von Koch, on s'est tout simplement « trompé » de dimension, il faut prendre une dimensiond_e > 1, qui en l'occurrence ne sera pas entière, on a

d_o = log 4/log 3 = 1,2619.

Ceci peut être représenté de manière plus rigoureuse par la dimension d'Hausdorff-Besicovitch.

Dimension topologique

Une assez bonne définition de la dimension topologique D se prend de forme récursive établissant la dimension topologique d'un point = 0, et puis

c'est-à-dire :

la dimension d'un objet mathématique est égale à la somme de la dimension topologique de sa frontière + 1.

On aura alors, la dimension d'une droite = 0 + 1 = 1 vu que sa frontière est un point. Dimension d'une aire = 1 + 1 = 2, vu que si l'on prend n'importe quelle aire, son périmètre est une courbe.

Dimension de Hausdorff - Besicovitch

La dimension d'Hausdorff-Besicovitch D_h prend sa définition par le quotient logarithmique entre un nombre d'homothéties internes d'un objet, sur l'inverse de la raison de cette homothétie. Donc,

$D_h = \frac{\ln(N)}{\ln(\frac{1}{r})}$ .

On aura donc, pour un point :

$D_h = \frac{\ln(1)}{\ln(n)}= 0$ avec n naturel > 1,

vu qu'on peut établir un point par une homothétie interne de raison n. On peut dire « un point est le produit de n homothéties internes de ce même point, de raison n ».

Avec une droite (segment), il peut s'établir avec deux homothéties internes de raison 1/2, donc

$D_h = \frac{\ln(2)}{\ln\left (\frac{1}{\frac{1}{2}} \right )}= \frac{\ln(2)}{\ln(2)} = 1$ .

De cette facon, on trouve pour les formes et objets euclidiens, un isomorphisme entre ces deux dimensions établies. Cependant, des grandes différences se présentent avec les fractales.

Dimension de Minkowski - Bouligand

La dimension de Minkowski-Bouligand D_m est le quotient logarithmique entre le volume de boules dont on a besoin pour recouvrir n'importe quel objet euclidien, ou non euclidien (de rayon le plus petit possible), qui peut se renfermer dans une boule de rayon r, avec le quotient des rayons. On obtient alors,

$D_m = \frac{\ln(N(r,\rho))}{\ln\left (\frac{r}{\rho}\right )}$ ,

où r est le rayon de la boule extérieure, qui se trouve recouverte par des boules plus petites de rayon . N(r,ρ) désigne l'aire ou volume de la boule ou disque qui recouvre cette figure.

Dans les œuvres de science-fiction

Dans le domaine de la science-fiction, le terme « dimension » est utilisé pour caractériser les mondes dits « parallèles », c'est-à-dire par lesquels on ne peut pas accéder en voyageant dans l'espace ; on ne peut y accéder qu'en utilisant une appareil ouvrant une « faille » entre les « dimensions », ou bien à l'occasion d'un événement accidentel. On dit que le monde parallèle est situé dans une « autre dimension ».

Catégories: Physique | Algèbre linéaire | Topologie

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