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Distribution (analyse mathématique)

En analyse mathématique, les distributions (également appelées fonctions généralisées) sont des objets qui généralisent les fonctions et les distributions de probabilité. Elles étendent la notion de dérivée à toutes les fonctions continues et au-delà, et sont utilisées pour formuler des solutions à certaines équations aux dérivées partielles. Elles sont importantes en physique et en ingénierie où beaucoup de problèmes discontinus conduisent naturellement à des équations différentielles dont les solutions sont des distributions plutôt que des fonctions ordinaires.

La théorie des distributions fut fondée par Laurent Schwartz.

L'exemple canonique de distribution est la distribution de Dirac, qu'on peut s'imaginer informellement comme une fonction de R dans R qui vaudrait zéro partout sauf en l'origine, et dont l'intégrale sur R vaudrait 1. (Aucune fonction ordinaire n'a ces propriétés).

Idée de base

L'idée de base est la suivante. Si f : R → R est une fonction intégrable, et φ : R → R est une fonction indéfiniment dérivable nulle partout sauf sur un ensemble borné, alors ∫fφdx est un nombre réel qui dépend de façon linéaire et continue de φ. On peut dont penser la fonction f comme une fonctionnelle linéaire continue sur l'espace des « fonctions test » φ. De façon similaire, si P est une probabilité de distribution sur les réels et φ is une fonction test, alors ∫φdP est un nombre réel qui dépend de façon linéaire et continue de φ: les distributions de probabilité peuvent aussi être vues comme des fonctionnelles linéaires continue sur l'espace des fonctions test. Cette notion de « fonctionnelle linéaire continue sur l'espace des fonctions test » est par conséquent utilisée comme définition des distributions.

Les distributions peuvent être multipliées par des nombres réels et additionnées entre elles, et ainsi forment un espace vectoriel réel. Il n'est pas possible de définir en général le produit de deux distributions (en tant que généralisation du produit ponctuel de deux fonctions), mais les distributions peuvent être multipliées par des fonctions indéfiniment dérivables.

Pour définir la dérivée d'une distribution, voyons d'abord le cas d'une fonction différentiable et intégrable f : R → R. Si φ est une fonction test, alors

∫f 'φ dx = - ∫ fφ' dx

en utilisant l'intégration par parties (à noter que φ est nulle en dehors d'un domaine borné et que donc les problèmes de bords peuvent être ignorés). Ceci suggère que si S est une distribution, on définisse sa dérivée S' comme la fonctionnelle linéaire qui envoie une fonction test φ sur -S(φ'). Il se trouve que c'est la bonne définition: elle étend la notion ordinaire de dérivée, chaque distribution devient indéfiniment dérivable et on peut démontrer les propriétés usuelles des dérivées.

Le delta de Dirac (appelé aussi fonction delta de Dirac) est la distribution qui envoie la fonction test φ sur φ(0). C'est la dérivée de la fonction « marche » de Heaviside, H définie par H(x) = 0 si x < 0 et H(x) = 1 if x ≥ 0. La dérivée du delta de Dirac est la distribution qui envoie une fonction test φ sur -φ'(0). Cette dernière distribution est notre premier exemple de distribution qui ne soit ni une fonction ni une probabilité de distribution.