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Effet Doppler-Fizeau

L'effet Doppler-Fizeau est le décalage entre la fréquence de l'onde émise et de l'onde reçue lorsque l'émetteur et le récepteur sont en mouvement l'un par rapport à l'autre ; il apparaît aussi lorsque l'onde se réfléchit sur un objet en mouvement par rapport à l'émetteur ou au récepteur.

Cet effet fut proposé par Christian Doppler en 1842 dans l'article Über das farbige Licht der Doppelsterne und einige andere Gestirne des Himmels, confirmé sur les sons par le chercuehr néerlandais Christoph Hendrik Diederik Buys Ballot (en utilisant des musiciens jouant une note calibrée sur un train de la ligne Utrecht-Amsterdam), et également proposé par Hippolyte Fizeau sur les ondes électromagnétiques en 1848. On le désigne parfois simplement sous le nom d'effet Doppler.

Ceci explique que la hauteur du bruit du moteur d'une voiture, ou d'une sirène d'un véhicule d'urgence, est différent selon que l'on est dedans (l'émetteur est immobile par rapport au récepteur), que le véhicule se rapproche (le son est plus aigu) ou qu'il s'éloigne (le son est plus grave).

Cet effet est utilisé pour mesurer la vitesse avec les cinémomètres et les radars, ou bien pour des examens médicaux (notamment les échographies en cardiologie). Il explique aussi le phénomène de décalage vers le rouge (red shift) en astronomie.

Sommaire

1 Explication empirique

2 Formulation physique

2.1 Effet Doppler-Fizeau galiléen
2.2 Effet Doppler-Fizeau relativiste

3 Voir aussi

Explication empirique

Une personne est debout dans l'eau, au bord du rivage de la mer. Des vagues lui arrivent sur les pieds toutes les dix secondes. La personne marche, puis court en direction du large : elle va à la rencontre des vagues, celles-ci l'atteignent avec une fréquence plus élevée (par exemple toutes les huit secondes, puis toutes les cinq secondes). La personne fait alors demi-tour et marche puis court en direction de la plage ; les vagues l'atteignent avec une fréquence moins élevée, par exemple toutes les douze, puis quinze secondes.

Il est à noter que la fréquence des vagues ne dépend pas du mouvement de la personne par rapport à l'eau (notamment est indépendante de la présence ou non d'un courant), mais du mouvement de la personne par rapport à l'émetteur des vagues (en l'occurrence un lieu au large où le courant s'oppose au vent).

De manière symétrique, on peut imaginer une source mobile de vagues, par exemple un aéroglisseur dont le jet d'air générerait des vagues à une fréquence régulière. Si l'aéroglisseur se déplace dans une direction, alors les vagues sont plus resserrées vers l'avant du mouvement et plus espacées vers l'arrière du mouvement ; sur un lac fermé, les vagues frapperont la berge à des fréquences différentes.

Formulation physique

Effet Doppler-Fizeau galiléen

Supposons que l'émetteur et le récepteur se déplacent sur une droite munie d'un référentiel galiléen. Appelons v_s la vitesse algébrique de l'émetteur (source) et v_r celle du récepteur ; v est la vitesse de l'onde.

Si f₀ est la fréquence de l'onde dans le référentiel de la source, alors le récepteur va recevoir une onde de fréquence ƒ_a

$f_a = \frac{v-v_r}{v-v_s} \cdot f_0 = \frac{1-\frac{v_r}{v}}{1-\frac{v_s}{v}}\cdot f_0$

Si seule la source est mobile par rapport au référentiel (v_r = 0), on a alors :

$f_a = \frac{v}{v-v_s} \cdot f_0 = \frac{1}{1-\frac{v_s}{v}}\cdot f_0$

et si seul le récepteur est mobile par rapport au référentiel (v_s = 0), on a :

$f_a = \frac{v-v_r}{v} \cdot f_0 = 1 - \frac{v_r}{v}\cdot f_0$

On voit clairement que les deux situations ne sont pas symétriques : en effet, si le récepteur « fuit » l'émetteur à une vitesse supérieure à v, il ne recevra jamais d'onde, alors que si l'émetteur fuit un récepteur immobile, celui-ci recevra toujours une onde. On ne peut pas inverser le rôle de l'émetteur et du récepteur.

Si l'émétteur et la source sont immobiles dans le référentiel mais que l'onde se réfléchit sur un objet en mouvement, alors tout se passe comme si c'est le récepteur qui était à la place de l'objet en mouvement.

Notons que dans le cas d'ondes électromagnétiques, la vitesse de l'onde est c qui dépend de la nature du milieu (et notamment de son indice de réfraction), mais pas du référentiel ; on a alors :

$f_a = \frac{c-v_r}{c-v_s} \cdot f_0 = \frac{1-\frac{v_r}{c}}{1-\frac{v_s}{c}}\cdot f_0$

Effet Doppler-Fizeau relativiste

Nous allons développer dans ce qui suit comment les angles se transforment en relativité restreinte, et ensuite nous verrons l'effet Doppler-Fizeau relativiste.

Soit un rayon lumineux dans le référentiel caractérisé par une pulsation et un vecteur d'onde $\vec{k'}$ . Ce rayon se propage dans la direction donnée par le vecteur d'onde et $(\vec{u'_x},\vec{k'})=\theta'$ .

Dans le référentiel , en translation rectiligne uniforme par rapport au premier référentiel dans la direction des x, à la vitesse v, le même rayon est caractérisée par une pulsation et un vecteur d'onde $\vec{k}$ . Ce rayon se propage dans la direction donnée par le vecteur d'onde et $(\vec{u_x},\vec{k})=\theta$ .

On sait que :

$\begin{matrix}\left\{\begin{matrix} \frac{\omega}{k}=c\\ \frac{\omega'}{k'}=c \end{matrix}\right.&(1)\end{matrix}$

De plus les transformations de Lorentz donnent pour le quadrivecteur pulsation-vecteur d'onde $(\frac{\omega}{c},\vec{k})$ :

$\begin{matrix}\left\{\begin{matrix} k^0=\gamma(k'^0+\beta k'^1)\\ k^1=\gamma(k'^1+\beta k'^0)\\ k^2=k'^2\\ k^3=k'^3 \end{matrix}\right.&(2)\end{matrix}$

avec

$\beta = \frac{v^2}{c^2}$

$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1- \frac{v^2}{c^2}}} = \frac{1}{\sqrt{1- \beta}}$

et nous avons :

$\begin{matrix}\left\{\begin{matrix} \frac{\omega'}{c}\\ k'_x=k'cos\theta'\\ k'_y=k'sin\theta'\\ k'_z=0 \end{matrix}\right.& \left\{\begin{matrix} \frac{\omega}{c}\\ k_x=kcos\theta\\ k_y=ksin\theta\\ k_z=0 \end{matrix}\right.&(3)\end{matrix}$

Les transformations de Lorentz donnent compte (1) (2) (3) :

$\begin{matrix}\left\{\begin{matrix} \omega=\gamma(1+\beta cos\theta')\omega'\\ \omega cos\theta=\gamma(\beta+cos\theta')\omega'\\ \omega sin\theta=\omega'sin\theta' \end{matrix}\right.&(4)\end{matrix}$

Nous obtenons les relations transformant les angles :

$\left\{\begin{matrix} cos\theta=\frac{\beta+cos\theta'}{1+\beta cos\theta'}\\ sin\theta=\frac{sin\theta'}{\gamma(1+\beta cos\theta')}\\ tan\theta=\frac{sin\theta'}{\gamma(cos\theta'+\beta)} \end{matrix}\right.$

La relation inversée donnant la transformation du cos donne : $cos\theta'=\frac{cos\theta-\beta}{1-\beta cos\theta}$ On obtient en insérant dans (4) et en divisant par pour obtenir des fréquences :