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Élément inversible

En mathématiques, un élément inversible d'un ensemble muni d'une loi de composition interne notée multiplicativement, est un élément symétrisable pour cette loi. Si la loi est associative, alors tout élément inversible x de l'ensemble, admet un unique symétrique appelé inverse de x noté ou .

Un élément inversible d'un anneau unifère A est un élément x tel qu'il existe un élément y dans A vérifiant

xy=yx=1_A

où 1_A est l'élément neutre de A.

x est donc un élément inversible du monoïde multiplicatif de A. Les éléments inversibles de A forment un groupe noté habituellement , appelé le groupe des inversibles de A.

Les orbites de A sous l'action de par la multiplication sont appelées les ensembles d'associés; en d'autres termes il existe une relation d'équivalence sur A appelée relation d'association telle que pour tous a et b dans A

a~b

s'il existe c inversible dans A tel que a=bc.

Par exemple dans l'anneau des entiers relatifs, n et -n sont associés.

Toute racine de l'unité est inversible. En théorie algébrique des nombres, le théorème des unités de Dirichlet montre l'existence de plusieurs éléments inversibles dans la plupart des anneaux d'entiers algébriques.

Par exemple, nous avons

(√5 + 2)(√5 − 2) = 1.

Nous pouvons voir que est un foncteur de la catégorie des anneaux, dans la catégorie des groupes. Un homomorphisme d'anneaux doit envoyer les inversibles sur les inversibles. Il admet un adjoint à gauche, l'anneau du groupe des inversibles.