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En mathématiques, la notion d'élément symétrique
généralise les concepts d'opposé en rapport avec l'addition, d'inverse en rapport avec la multiplication, d'application réciproque pour la composition d'applications. Intuitivement un symétrique est un élément qui va défaire par
composition, l'effet de la composition par un autre élément d'un élément donné.
Soit E un ensemble muni d'une loi de composition interne *. Si e est l'élément neutre de (E, *) et si a et b sont deux éléments de E tels que a*b=e, alors a est appelé un symétrique à gauche (ou inverse à gauche) de b et b est appelé symétrique à droite (ou inverse à droite) de a. Si un élément x de E est à la fois un symétrique à droite et à gauche d'un élément y, alors x est appelé un symétrique (ou encore un inverse) de y.
Un élément x de E qui admet au moins un symétrique à droite est dit symétrisable à droite, qui admet au moins un symétrique à gauche est dit symétrisable à gauche, qui admet au moins un symétrique est dit symétrisable.
Comme pour les éléments neutres à droite et à gauche, il est possible pour un élément donné y d'avoir plusieurs symétriques à droite, ou plusieurs symétriques à gauche. y peut même avoir plusieurs symétriques à droite et plusieurs symétriques à gauche. Cependant si la loi * est associative, et si y possède à la fois un symétrique à droite et un symétrique à gauche, alors ils sont égaux. Et si y possède un symétrique alors ce dernier est unique.
Un exemple important est celui d'une matrice carrée inversible.
Une matrice M d'ordre n à coefficients dans un corps 
est inversible si et seulement si son déterminant est non nul. Si le
déterminant de M est égal à zéro, alors il est impossible de lui trouver un inverse d'un côté (à droite ou gauche);
ainsi l'existence d'une inverse à gauche ou à droite implique l'existence d'une inverse.
