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Éléments d'Euclide

Euclide est l'auteur très probablement des Éléments, le plus ancien livre de mathématiques dont la tradition est encore vivace aujourd'hui. Ils contiennent 13 livres organisés logiquement et thématiquement.

Les Éléments sont organisés comme suit :

Les livres I à IV traitent de géométrie plane :

• Le livre I énonce les propriétés de base de la géométrie : théorème de Pythagore, égalités angulaires et d'aires et parallélisme, somme des angles du triangle, les trois cas d'égalité des triangles.
• Le livre II est couramment nommé livre de l'algèbre géométrique, parce qu'il est un livre de géométrie facile à interpréter comme de l'algèbre, ce qu'il n'est pas exactement mais il a été compris et utilisé en mathématiques arabes pour l'algèbre.
• Le livre III traite du cercle et de ses propriétés : angle inscrit, puissance d'un point, tangente.
• Le livre IV s'occupe de l'inscription et de la circonscription de triangles ou de polygones réguliers dans le cercle.

Les livres V à X font intervenir les proportions :

• Le livre V est le traité des proportions de grandeurs.
• Le livre VI est celui de l'application des proportions à la géométrie : théorème de Thalès, figures semblables.
• Le livre VII est consacré à l'arithmétique : divisibilité, nombres premiers, PGCD, PPCM.
• Le livre VIII traite de l'arithmétique des proportions et des suites géométriques.
• Le livre IX applique les précédents : infinité des nombres premiers, somme d'une série géométrique, nombres parfaits.
• Le livre X est une tentative de classification des grandeurs irrationnelles introduisant la méthode par exhaustion, prémice de l'intégration, irrationalité de .

Les livres XI à XII traitent de géométrie dans l'espace :

• Le livre XI généralise dans l'espace les livres I à VI : perpendicularité, parallélisme, volumes de parallélépipèdes.
• Le livre XII calcule des aires et volumes en utilisant la méthode d'exhaustion : disque, cônes, pyramides, cylindres et sphère.
• Le livre XIII est la généralisation du livre IV dans l'espace : section dorée, les cinq polyèdres réguliers inscrits dans une sphère.

Il existe deux livres apocryphes, présents en annexe dans la traduction de Heath.

Voir aussi

• Pythagore
• Eudoxe
• Proclus
• Archimède

Liens externes

• Euclid's Elements arrangé et ouèbisé par D. E. Joyce (en anglais)
• Une vieille traduction
• Une version colorée

Bibliographie

• Les Éléments d'Euclide, trad. François Peyrard, éd. Blanchard Paris, 1993 (1° éd. 1819)
• Euclid The thirteen book of the Elements, trad. Thomas Little Heath, éd. Dover New York, 1956
• Les Éléments d'Euclide, trad. Bernard Vitrac, éd. PUF Paris