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Ensemble de mesure nulle

En théorie de la mesure, un ensemble de mesure nulle est considéré relativement à la mesure que l'on utilise. Une partie mesurable N de l'ensemble X, mesuré avec la mesure m, est dite de mesure nulle si et seulement si .

Un ensemble N de mesure nulle a les propriétés suivantes :

Tout sous-ensemble de N a une mesure nulle.
Toute union dénombrable d'ensembles de mesure nulle a une mesure nulle.

Dans les espaces $\mathbb{R}^n$ , la mesure généralement utilisée est la mesure de Lebesgue. Pour cette mesure, tout singleton a une mesure nulle. Ainsi, en utilisant la deuxième propriété énoncée ci-dessus, on montre que tout ensemble dénombrable dans $\mathbb{R}^n$ a une mesure nulle. Ainsi, μ( $\mathbb Q$ )=0

Ce concept de mesure nulle permet notamment de définir le concept de « presque partout ». Ainsi, une fonction f sera égale à une fonction g presque partout si et seulement si $m(\{x / f(x)\ne g(x)\})=0$ .

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