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Ensemble vide

En mathématiques, l'ensemble vide est l'ensemble sans élément.

Voir aussi: Théorie des ensembles.

Sommaire

1 Notation

2 Propriétés

3 Difficultés philosophiques

4 Opérations sur l'ensemble vide

5 Théorie des catégories

Notation

L'ensemble vide peut-être noté $\empty \,$ (qui dérive de la lettre de la lettre Ø de l'alphabet norvégien et qui est parfois confondue avec la lettre grecque Φ), ou simplement {}, deux accolades ouvrantes et fermantes ne contenant... rien. La notation Ø a été introduite par le mathématicien français André Weil du groupe Bourbaki.

Propriétés

Pour tout ensemble A, l'ensemble vide est un sous-ensemble de A :

∀A ensemble, Ø ⊂ A
Pour tout ensemble A, l'union de A avec l'ensemble vide est A :

∀A ensemble, Ø ∪ A = A
Pour tout ensemble A, l'intersection de A avec l'ensemble vide est l'ensemble vide :

∀A ensemble, Ø ∩ A = Ø
Le seul sous-ensemble de l'ensemble vide est l'ensemble vide lui-même. :

∀A ensemble, A ⊂ Ø ⇒ A = Ø
Le cardinal de l'ensemble vide est zéro, en particulier l'ensemble vide est fini :

card Ø = 0
L'ensemble vide est unique.

Difficultés philosophiques

A traduire ...

Opérations sur l'ensemble vide

A traduire ...

Théorie des catégories

À traduire ...

$\emptyset$ $\subset$ $\mathbb N$ $\subset$ $\mathbb Z$ $\subset$ $\mathbb D$ $\subset$ $\mathbb Q$ $\subset$ $\mathbb R$ $\subset$ $\mathbb C$ $\subset$ $\mathbb H$ $\subset$ $\mathbb O$ $\subset$ $\mathbb S$

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