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Équations de Maxwell

Cet article de science fait
partie de la série physique

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Les équations de Maxwell sont des lois fondamentales de la physique. Elles constituent les postulats de base de l'électromagnétisme (avec l'expression de la force électromagnétique, de l'énergie électromagnétique et diverses conventions).

Sommaire

1 Historique

2 Approche vectorielle

2.1 Équation de Maxwell-Gauss
2.2 Équation de Maxwell-Faraday
2.3 Équation de conservation du flux magnétique
2.4 Équation de Maxwell-Ampère

3 Formulation tensorielle

Historique

Maxwell a réuni des lois expérimentales trouvées par ses prédécesseurs (lois de l'électrostatique, du magnétisme, de l'induction...), il les a remises en forme et les a exprimées sous une forme différentielle. Elle furent publiées dans leur forme définitive en 1873, dans l'ouvrage Electricity and Magnetism. Ce « travail de copiste » a en fait provoqué les deux plus grandes avancées de la science moderne, puisque les équations de Maxwell sont à l'origine de la théorie de la relativité restreinte et de la physique quantique.

En effet, les équations de Maxwell permettent de prédire l'existence d'une onde électromagnétique, c'est-à-dire que la modification d'un des paramètres (densité de charge, intensité du courant...) va avoir des répercussions à distance avec un certain retard. Or, la vitesse de ces ondes, c, calculée avec les équations de Maxwell, est égale à la vitesse de la lumière qui a été mesurée expérimentalement. Cela a permis de conclure que la lumière était une onde électromagnétique. L'étude de la lumière et des ondes électromagnétiques, avec notamment les travaux de Max Planck sur le corps noir et d'Heinrich Hertz sur l'effet photo-électrique donna naissance à la théorie quantique.

Le fait que c soit la même dans toutes les directions et indépendante du référentiel, conclusion que l'on tire de ces équations, est un des fondement de la théorie de la relativité. En fait, on remarque que si l'on change de référentiel, le changement de coordonnées classique ne s'applique pas aux équations de Maxwell, il faut utiliser une autre transformation, la transformation de Lorentz. Einstein a essayé d'appliquer les transformations de Lorentz à la mécanique classique, et cela l'a conduit à la théorie de la relativité restreinte.

Approche vectorielle

Les équations de Maxwell s'écrivent très simplement dans le formalisme du calcul vectoriel. On distingue les équations de Maxwell dans le vide, données ci-dessous, des équations de Maxwell dans les milieux, qui sont en fait une commodité de notation sans sens physique.

$\left\{ \begin{matrix} \nabla \cdot \mathbf E = {\rho}/{\epsilon_0} & \mathrm{(MG)} \\ \nabla \wedge \mathbf E = - {\partial \mathbf B}/{\partial t} & \mathrm{(MF)} \\ \nabla \cdot \mathbf B = 0 & \mathrm{(M\Phi)} \\ \nabla \wedge \mathbf B = \mu_0 \mathbf j + \varepsilon_0 \mu_0 {\partial \mathbf E}/{\partial t} & \mathrm{(MA)} \end{matrix} \right.$

ou encore, en intégrant les relations précédentes,

$\oint_S \mathbf E \cdot d \mathbf a =\frac{1}{\varepsilon_0}\int_V\rho dV$

$\oint_C \mathbf E \cdot d \mathbf s =-\frac{\partial}{\partial t}\int_S\mathbf B \cdot d \mathbf a$

$\oint_S \mathbf B \cdot d \mathbf a =0$

$\oint_C \mathbf B \cdot d \mathbf s =\mu_0\int_S\mathbf j \cdot d \mathbf a +\varepsilon_0\mu_0\frac{\partial}{\partial t}\int_S\mathbf E \cdot d \mathbf a$

où est la densité de charge électrique, $\mathbf j$ la densité de courant, $\mathbf E$ le champ électrique, $\mathbf B$ le champ magnétique, $\varepsilon_0$ la permittivité du vide et la perméabilité diamagnétique du vide. Les quatre premières équations sont dites locales car elles font intervenir les valeurs des champs et densité de courant en un point. Les quatre suivantes, respectivement équivalentes aux premières, sont dites globales. Les surfaces d'intégration apparaissant dans les membres de droite sont délimitées par les courbes fermées des membres de gauche. De même, le volume d'intégration de la première équation est délimité par la surface fermée apparaissant dans l'autre membre de cette équation.

Les équations précédentes s'appellent respectivement « équation de Maxwell-Gauss », « équation de Maxwell-Faraday », « équation de conservation du flux magnétique » et « équation de Maxwell-Ampère ».

Équation de Maxwell-Gauss

$\vec{\nabla} \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_{0}}$ ou $div(\vec{E}) = \frac{\rho}{\varepsilon_{0}}$

à une dimension (si E_y = E_z = 0), cela donne

$\frac{\partial E_{x}}{\partial x} = \frac{\rho}{\varepsilon_{0}}$

cette équation correspond à un « terme de source » : la densité de charge électrique est une source du champ électrique (cf. électrostatique). Cette équation provient de la loi de Coulomb (champ électrostatique créé par une charge q en un point distant de r dans la l,k,direction $\vec{u}$ ) :

$\vec{E} = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0 \cdot r^2 } \cdot \vec{u}$ poy

Équation de Maxwell-Faraday

$\vec{\nabla} \wedge \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$ ou $\vec{rot}(\vec{E}) = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$

à une dimension, cela donne

$\frac{\partial E_{x}}{\partial z} = - \frac{\partial B_{y}}{\partial t}$ et $\frac{\partial E_{x}}{\partial y} = \frac{\partial B_{z}}{\partial t}$

cette équation correspond à un « terme variationnel » : la variation du champ magnétique crée un champ électrique (cf. induction).pelikan

Équation de conservation du flux magnétique

$\vec{\nabla} \cdot \vec{B} = 0$ ou $div(\vec{B}) = 0$

à une dimension (si B_y = B_z = 0), cela donne

$\frac{\partial B_{x}}{\partial x} = 0$

cette équation correspond à un « terme de source » : il n'y a pas de terme de source de champ magnétique.

Équation de Maxwell-Ampère

$\vec{\nabla} \wedge \vec{B} = \mu_{0} \vec{j} + \varepsilon_{0} \mu_{0} \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$ ou $\vec{rot}(\vec{B}) = \mu_{0} \vec{j} + \varepsilon_{0} \mu_{0} \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$

à une dimension, cela donne

$\frac{\partial B_{x}}{\partial z} = \mu_{0}j_{y} + \varepsilon_{0} \mu_{0}\frac{\partial E_{y}}{\partial t}$ et : $-\frac{\partial B_{x}}{\partial y} = \mu_{0}j_{z} + \varepsilon_{0} \mu_{0}\frac{\partial E_{z}}{\partial t}$

cette équation correspond à un « terme variationnel » : la circulation de charges et la variation du champ électrique créent un champ magnétique (cf. induction). Cette loi provient notamment de la loi de Biot et Savart (champ magnétique créé par une charge q se déplaçant à une vitesse $\vec{v}$ en un point distant de r dans la direction $\vec{u}$ ) :

$\vec{B} = \frac{\mu_0}{4 \pi}\cdot \frac{q}{r^2 } \cdot \vec{v} \wedge \vec{u}$

Formulation tensorielle

En posant

$A_{\mu} = (\frac{\phi}{c},\vec{A})$

où $\mathbf \phi$ et $\vec{A}$ sont tels que

$\vec{E} = -(\nabla\phi + \frac{\partial \vec{A}}{\partial t})$

$\vec{B} = \vec{rot}(\vec{A})$

Les équations de Maxwell deviennent

${J_i} = \frac{\partial F^{ij}}{\partial x^i}$ avec i,j = 0..3

où

$\mathbf J_0 = \mathbf {\rho}c$ (la densité de charge)

$\vec{J} = (J_1,J_2,J_3)$ (le courant de charge)

$F^{\alpha\beta} = \partial^{\alpha} A^{\beta} - \partial^{\beta} A^{\alpha} = \begin{pmatrix} 0 & \frac{-E_x}{c} & \frac{-E_y}{c} & \frac{-E_z}{c} \\ \frac{E_x}{c} & 0 & -B_z & B_y \\ \frac{E_y}{c} & B_z & 0 & -B_x \\ \frac{E_z}{c} & -B_y & B_x & 0 \\ \end{pmatrix}$

Les équations de Maxwell s'écrivent sous forme relativiste covariante :

$\partial_{\alpha}F^{\alpha\beta}=\mu_{0}j^{\beta}$

$\partial_{\alpha}F_{\beta\gamma}+\partial_{\gamma}F_{\alpha\beta}+\partial_{\gamma}F_{\alpha\beta}=0$

Catégories: Électromagnétisme | Physique quantique

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