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Équations de Navier-Stokes

En mécanique des fluides, les équations de Navier-Stokes sont des équations aux dérivées partielles non-linéaires qui décrivent le mouvement des fluides. Elles gouvernent par exemple les mouvements de l'air de l'atmosphère, les courants océaniques, l'écoulement de l'eau dans un tuyau, et de nombreux autres phénomènes d'écoulement de fluides. Elles sont nommées d'après deux physiciens du XIXe siècle, Claude Navier et George Stokes.

Formule

$- \overrightarrow{\mathrm{grad}}\,p + \mu \left( \Delta \vec{v} + {1 \over 3} \overrightarrow{\mathrm{grad}} (\mathrm{div}\vec{v} ) \right) + \rho \vec{f} = \rho \left( { \partial\vec{v} \over \partial t } + \left(\vec{v} \cdot \overrightarrow{\mathrm{grad}}\right)\vec{v} \right) = \rho { d \vec{v} \over dt }$

Dans cette équation :

$\vec{v}$ est la vitesse
$\overrightarrow{\mathrm{grad}},\mathrm{div},\Delta$ sont respectivement les opérateurs différentiels gradient, divergence et laplacien.
est la pression
est la viscosité dynamique
$\vec{f}$ est une force massique s'exerçant dans le fluide.
est la masse volumique du fluide
représente le temps

Interprétation

Cette équation est l'équivalent de la relation fondamentale de la dynamique (aussi appelée seconde loi de Newton) : $\Sigma \vec{F} = m \vec{a}$ .

Dans cette formule, on voit apparaître trois types de forces :

Les forces de pression, spécifique de la mécanique des fluides.
Les forces de viscosité. Notez que le second terme ${\rho \over 3} \overrightarrow{\mathrm{grad}} (\mathrm{div}\vec{v} )$ disparait si le fluide est incompressible. L'expression présentée ici concerne le cas simple des fluides visqueux newtoniens. Dans des fluides de rhéologie complexe, comme certains polymères, des lois plus sophistiquées doivent être introduites.
D'autres forces massiques, qui peuvent être des forces de gravité $\left(\vec{f}=\vec{g}\right)$ ou électromagnétiques $\left(\vec{f}=\frac{q}{\rho}\left(\vec{E}+\vec{v}\wedge\vec{B}\right)\right)$ .

L'expression de l'accélération est plus délicate et s'exprime de deux manières

L'approche Lagrangienne consiste à suivre les particules de fluides. L'accélération est la dérivée totale de la vitesse: $d \vec{v} \over dt$ .
L'approche Eulérienne consiste à se placer en une position fixe. L'accélération est alors la somme de la dérivée

partielle $\partial\vec{v} \over \partial t$ et d'un terme advectif $\left(\vec{v} \cdot \overrightarrow{\mathrm{grad}}\right)\vec{v}$ .

La résolution de l'équation de Navier-Stockes est extrémement difficile. À la complexité inhérente aux équations aux dérivées partielles s'ajoutent celle de la non-linéarite introduite par le terme advectif de l'accélération. La plupart du temps, on essaie de résoudre une version simplifie l'équation en éliminant l'un de ces termes. Par exemple, à faible nombre de Reynolds, on peut négliger le terme advectif et à fort nombre de Reynolds, on s'affranchit de la viscosité.

Catégories: Mécanique des fluides

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