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Équation linéaire

Dans les équations algébriques

Une équation linéaire à une inconnue x est une équation de la forme $ax+b=0 \,$ où a et b sont des réels (ou des complexes). Les réels a et b sont appelés des coefficients, a est le coefficient devant x et b le coefficient constant. On appelle aussi cette équation, une équation du premier degré à une inconnue.

Une équation linéaire à plusieurs inconnues x, y, z ...est une équation de la forme $ax + by + cz + ... = k \,$ où a, b, c, ... k sont des réels (ou des complexes). De même ici, a est le coefficient devant x, b le coefficient devant y, ..., k le coefficient constant.

L'ensemble des solutions d'une équation linéaire à n inconnues dont au moins un coefficient autre que le coefficient constant est non nul, est un sous-espace affine de dimension n - 1.

Cas des équations linéaires homogène

Les équations linéaires homogènes sont celles dont le coefficient constant est nul.

Propriété: si (x, y, z, ....) et (x', y', z', ...) sont deux solutions d'une équation linéaire homogène alors il en est de même de (kx, ky, kz, ...) et (x + x', y + y', z + z', ...).

L'ensemble des solutions d'une équation linéaire homogène à n inconnues dont un coefficient au moins est non nul est un sous-espace vectoriel de dimension n - 1.

Voir aussi : Système d'équations linéaires

Dans les équations différentielles

On parlera ici de fonctions définies sur $\mathbb R$ ou sur $\mathbb C$ à valeurs dans $\mathbb R$ ou dans $\mathbb C$ .

Une équation différentielle linéaire du premier ordre d'inconnue y est une équation de la forme ay + by' = c où a, b et c sont des fonctions numériques.

Une équation différentielle linéaire d'ordre n et d'inconnue y est une équation de la forme

$a_0 y + a_1 y' + a_2 y'' + ... + a_n y^{(n)}= a_{n+1} \,$

où $a_0 \,$ , $a_1 \,$ , ... $a_n \,$ , $a_{n+1} \,$ sont des fonctions numériques et la dérivée d'ordre k de y.

Si $a_0 \,$ , $a_1 \,$ , ... $a_n \,$ , $a_{n+1} \,$ sont des constantes, on parle d'équation linéaire à coefficients constants.

Cas des équations homogènes

Si = 0 on parle d'équation linéaire homogène.

Par exemple l'équation différentielle y" + y= 0 est une équation différentielle linéaire homogène à coefficients constants.

Si et sont solutions d'une équation différentielle linéaire homogène alors il en est de même de et de ;

Si on connait une solution particulière d'une équation différentielle linéaire, la solution générale est formée de la somme de cette solution particulière avec la solution générale de l'équation linéaire homogène associée.

Catégories: Algèbre linéaire | Équation

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