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Espace dual

L' espace dual d'un espace vectoriel E est l'ensemble des formes linéaires sur E. Il est en quelque sorte un "reflet" de E.

Sommaire

1 Définitions

2 Exemples

2.1 Cas d'un espace préhilbertien
2.2 Cas de la dimension finie

3 Voir aussi

Définitions

Soit (K,+,x) un corps, E un K-espace vectoriel.

On appelle forme linéaire sur E toute application linéaire de E vers K, c'est-à-dire toute application $f : E \rightarrow K \,\!$ telle que :

$\forall (x,y) \in E^2 , \forall \lambda \in K , f(\lambda x + y) = \lambda f(x) + f(y) \,\!$

L'ensemble des formes linéaires sur E est un K-espace vectoriel, dit espace dual de E ; il est noté E*.

Si $f \,\!$ est un élément de E* et $x \,\!$ un élément de E, on écrit parfois $<f,x> \,\!$ pour $f(x) \,\!$ . Cette notation est dite crochet de dualité.

Exemples

Cas d'un espace préhilbertien

Si l'espace vectoriel E est un espace préhilbertien, c'est-à-dire muni d'un produit scalaire, on a un moyen naturel de "plonger" E dans E*, c'est-à-dire d'associer à chaque élément de E un élément du dual, et ce de manière à former un isomorphisme : à chaque élément $x \,\!$ de E on associe la forme linéaire $f_x : E \rightarrow K, y \mapsto <x|y> \,\!$ . Alors l'application $f : E \rightarrow E*, x \mapsto f_x \,\!$ est une application linéaire injective, donc l'espace E est isomorphe au sous-espace f(E) de E*.